陕西省西安市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+PDF版含解析
1
西安市第一中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
高二数学试题
命题人：孙丽荣
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.数列
,11,22,5,2
，则
52
是该数列的( )
A． 第 6项 B． 第 7项 C． 第 10 项 D． 第 11 项
2.在△
ABC
中，若
a
cos2＋
c
cos2＝
2
3
b
，那么
a
，
b
，
c
的关系是( )
A．
a
＋
b
＝
c
B．
a
＋
c
＝2
b
C．
b
＋
c
＝2
a
D．
a
＝
b
＝
c
3.已知
x
≥
2
5
，则
f
(
x
)＝
42
54
2
x
xx
有( )
A． 最大值
2
5
B． 最小值
4
5
C． 最大值 1D． 最小值 1
4.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，
十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物
复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，
其中年长者已是奔百之龄(年龄介于 90～100 岁)，其余 19 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年
龄为
A.94 岁B.95 岁C.96 岁D.98 岁
5.设
n
S
是等差数列
n
a
的前
n
项和，若
3
1
6
3
S
S
，则
12
6
S
S
等于( )
A
10
3
B．
3
1
C．
8
1
D．
9
1
6.数列
1)1(
1)1(
,,
13
13
,
12
12
2
2
2
2
2
2
n
n
，的前 10 项和为( )
A．
55
17
B．
12
11
11
C．
132
43
11
D．
132
89
11
7.在△
ABC
中，已知(
b
＋
c
)∶(
c
＋
a
)∶(
a
＋
b
)＝4∶5∶6，
则sin
A
∶sin
B
∶sin
C
等于( )
A． 6∶5∶4 B． 7∶5∶3 C． 3∶5∶7 D． 4∶5∶6
8.在△
ABC
中，∠
ABC
＝
4
，
AB
＝
2
，
BC
＝3，则 sin∠
BAC
等于( )
A．
10
10
B．
5
10
C．
10
103
D．
5
5
9.若不等式
ax
2＋
bx
＋c>0 的解集是(－4,1).则不等式
b
(
x
2－1)＋
a
(
x
＋3)＋
c
>0 的
解为( )
A． (－
3
4
，1) B． (－∞，1)∪(
3
4
，＋∞)
C． (－1,4) D． (－∞，－2)∪(1，＋∞)
10.若正数
x
，
y
满足
x
＋3
y
＝5
xy
，则3
x
＋4
y
的最小值是 ( )
A．
5
24
B．
5
28
C． 5 D． 6
11.若不等式组
ayx
y
yx
yx
0
22
0
，表示的平面区域是一个三角形，则
a
的取值范围是( )
A．
3
4
a
B．
10 a
C．
3
4
1 a
D．
10 a
或
3
4
a
12.数列中
n
a
，
n
a
＝－2
n
2＋29
n
＋3，则此数列中最大项的值是( )
A． 107 B． 108 C．
8
1
108
D． 109
2
二．填空题：（本大题 4 小题 每小题 5 分，共 20 分）
13.若在△
ABC
中，
A
＝60°，
b
＝1，
S
△
ABC
＝
3
，则
CBA
cba
sinsinsin
＝__________.
14.已知数列
n
a
是等比数列，
a
3＋
a
7＝20，
a
1
a
9＝64，则
a
11 的值为_______．
15.若不等式
x
2－
ax
＋1≥0 对一切
x
∈(0,1]恒成立，则
a
的取值范围是________．
16. 函 数
1)1(log xy a
(a>0,且a
1)的图象恒过定点
A
， 若 点
A
在 一 次 函 数
y=mx+n 的图象上，其中 m>0,n>0,则
nm
21
的最小值为________．
三．解答题：（本大题 4 小题共 44 分，要求写出必要的推理过程）
17.(本小题满分 8 分)
已知
a
，
b
，
c
分别为 三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
c
＝
3
a
sin
C
－
c
cos
A
.
（1）求
A;
（2）若
a
＝2， 的面积为
3
，求
b
，
c
.
18.(本小题满分 8 分)
如图，在四边形
ABCD
中，已知
AD
⊥
CD
，
AD
＝10，
AB
＝14，∠
BDA
＝60°，∠
BCD
＝135°，
求
S
四边形
ABCD
．
19.(本小题满分 8 分)
已知
052
04
02
yx
yx
yx
求：
(1)
z
＝
x
2＋
y
2－10
y
＋25 的最小值；
(2 )
z
＝
1
12
x
y
的取值范围．
20.(本小题满分 10 分)
设函数
f
(
x
)＝
mx
2－
mx
－1.
(1)若对于一切实数
x
，
f
(
x
)<0 恒成立，求 m的取值范围．
(2)对于
x
∈[1,3]，
f
(
x
)<－
m
＋5 恒成立，求 m的取值范围．
21.(本小题满分 10 分)
在等比数列{
an
}中，
an
＞0(
n
∈N*)，公比 q∈(0，1)，
且
a
1
a
5＋2
a
3
a
5＋
a
2
a
8＝25，又
a
3与
a
5的等比中项为 2.
(1)求数列{
an
}的通项公式；
(2)设
bn
＝log2
an
，求数列{
bn
}的前
n
项和 S
n
；
(3)是否存在 k∈N*，使得S1
1＋S2
2＋…＋Sn
n＜k 对任意
n
∈N*恒成立，
若存在，求出 k的最小值，若不存在，请说明理由．
西安市第一中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
高二数学试题答案解析
1.【答案】B
【解析】由 an＝ ，解得 n＝7.
2.【答案】B
【解析】 cos2＝ ，cos2＝ ，代入条件等式，
得a＋c＋acosC＋ccosA＝3b，
a＋c＋a·＋c·＝3b，
整理，得 a＋c＝2b.
3.【答案】D
【解析】 f(x)＝ ＝
＝≥1.
当且仅当 x－2＝，即 x＝3时等号成立．
4.【答案】B
解析 设年长者的年龄为 t，
由已知，其余 19 位老人的年龄从小到大依次排列构成公差 d＝1的等差数列，
设最小者的年龄为 a1，
由“遂千百五二十岁”知，一遂就是 1 520 岁(一遂有 20 部，一部有 4章，一章有 19 岁，
且20 ×4×19 ＝1 520).
又因为 t∈(90,100)，所以 t＝19×5＝95.故选 B
5.【答案】A
【解析】设 S3＝m，∵ ，∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
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