宁夏中卫市2021届高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（理）试题含答案

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2021 年中卫市高考第二次优秀生联考
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第 22、23 题为选考题，
其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本
试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、
姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题
答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分．每小题给出的选项中,只有一项是符合
题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1.已知全集 ，集合 与 关系的 Venn 图如图所示，
则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.设复数 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C．
D．
3.从 4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同
的选法种数共有（ ）
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
4.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C.
D.
5.已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.已知函数 的图象关于直线 对称，在 时， 单调递增．若
， ， （其中 为自然对数的底数， 为圆周率），
则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线 与圆 相交于不同的两点 、 ， 为坐标原点，且
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.设直三棱柱 的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是 ，
， °，则此直三棱柱的高是（ ）
A． B． C． D.
9.设抛物线 （ ）的焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线交抛物线
于点 ，（点 位于 轴上方）， 是坐标原点，记△ 和△的面积分
别为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的
一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起
组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为 ，“刍甍”的体积为 ，若
，台体的体积公式为 ，其中 分别为台体的上、下底面
的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为
A. B. C. D.
11.已知 ，且 ， 的夹角为 ，若向量 ，则 的取值范
围是
A. B. C. D.
12.已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 在 上有极小值
C. 方程 在 上只有一个实根
D. 方程 在 上有两个实根
二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13.已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程
为 .
14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计
时长 (小时)近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时.若某高中学校1000
学生中参加该活动时间在 30 至 50 小时之间的同学约有 300 人.据此，可推测全市 名学生中，
累计时长超过 50 小时的人数大约为 .
15.已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过点 作 的一条渐近
线的垂线，垂足为 . 连接 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，
则双曲线 的离心率为 .
16.钝角 的面积是 ， ， ，角的平分线交
于点 ，则 .
三、解答题：（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 12 分）
数列的前 项和为 ， ，对任意的 有 ， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列， ， ，求数列的通项公式.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥中， ⊥平面 ， ∥， ， ，
.
（Ⅰ）求证： ⊥；
（Ⅱ）设 为棱 上一点，且 ∥平面 ，求二面角的大小.
19. （本小题满分 12 分）
某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由 ，
两个系统组成，其中 系统由 3 个电子元件组成， 系统由 5 个电子元
件组成. 各个电子元件能够正常工作的概率均为( )，且每
个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以
正常工作，否则就需要维修.
（Ⅰ）当时，每个系统维修费用均为200元.设 为该电子产品需要维修的总费用，求
的分布列与数学期望；
（Ⅱ）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品 ， 两个系统进行检测.从 ，
两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？
20．（本题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求实数 的值；
（Ⅱ）求证： ( ).
21．（本小题满分 12 分）
已知点 是圆 上一动点，点 ，线段的垂直平分线交
线段于点 .
（Ⅰ）求动点 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线 与
曲线 相 似， 且 焦点 在 同 一 条 直 线 上 ， 曲线
经 过 点
， .过曲线 上任一点 作曲线 的切线，切点
分别为 ，这两条切线 分别与曲线 交于点 (异于点 )，证明： 是一
个定值，并求出这个定值.
选考题：（请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作
答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）
22．（本小题满分 10 分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程；
（Ⅱ）设曲线 与曲线 在第二象限的交点为 ，曲线 与 轴的交点为 ，点 ，求
的周长 的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修4—5：不等式选讲
已知 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ．
答案：
1.已知全集 ，集合 与 关系的 Venn 图如图所示，
则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
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