宁夏中卫市2021届高三下学期4月第一次优秀生联考数学（文）试题 含答案

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号
证
考
准
姓名
场
考
点
考
绝密★启用前
2021 年中卫市高考尖子生第一次模拟考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第 22、23 题为选考题，
其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本
试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证
号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选
择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂
黑。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分．每小题给出的选项中,只有一项是符合
题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1．设全集 ，且 ，则满足条件的集合 的个数是
A. 3B. 4C. 7D. 8
2．欧拉公式 （ 为自然底数， 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，
是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 在复平面内对应点所在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ，且 ，则 （　　）
A．B．
C．
D．
4．函数
3
( ) 9
x
f x e x  
的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校 2400 名学生中
抽取 30 人进行调查．现将 2400 名学生随机地从 1～2400 编号，按编号顺序平均分成 30 组（1
～80 号，81～160 号，…，2321﹣2400 号），若第 3 组抽出的号码为 176，则第 6 组抽到的号
码是（　　）
A．416 B．432 C．448 D．464
6. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B. C． D．
7．已知直线 被圆 截得的弦长为 ，且圆 N的方程为
，则圆 M与圆 N的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．相离 D．内切
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最
大且排列最整齐的喇嘛塔群之一。一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，
由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第 5
项开始成等差数列，则该塔群共有（　　）
A.10 层 B.11 层 C.12 层 D.13 层
9．已知实数
x
、
y
满足约束条件
1
0
0
yx
ymx
yx
，其中
1m
，若目标函数
y
zx m
的最大值为
2
，则
( )
A.
2
B.
2
或
2
3
C.
2
或
2
1
D.
2
3
10.已知双曲线 ： 的一条渐近线被圆 截得的线段长
为
16
5
，则双曲线 的离心率为（　　）
A.
4
3
B.
5
3
C. D.
5
4
11．已知某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长均为
1
)，则该空间几何体的表面
积是( )
A.
5821012
B.
5102812
C.
542816
D.
582816
12. 若 都有 成立，则 的最大
值（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．已知向量 ， 且 ，则 　 ．
14．已知一组数据 4， ， ，5，7的平均数为 5，则这组数据的方差为　 　 ．
15．设 为平面, 为直线,则对于下列条件: ① ；
② ； ③ ；④ ．
其中为 的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 在 直 线 上 ， 点 在 圆
上，若四边形 为正方形，则 ＝ ；若 为直角，则实数
的取值范围是 .(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)
三、解答题：（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 12 分）
的内角 的对边分别为 ，已知
2 2
3 cos 2sin cos sin
2 4 4
A A A
A 
 
 
 
．
（1）求
A
；
（2）若
5b c 
，且
△ABC
的面积为
3 3
2
，求
a
的值．
18．（本题满分 12 分）
在三棱锥
P ABC
中，
G
是底面 的重心，
D
是线 段
PC
上的点，且
2PD DC
.
（1）求证：
DG //
平面
PAB
；
（2）若 是以
PB
为斜边的等腰直角三角形，求异面直线
DG
与
PB
所成角的余弦值.
19．（本题满分 12 分）
湖南省从 2021 年开始将全面推行“
3 1 2 
”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治
等四门选考科目，制定了计算转换
T
分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详
见附 1和附 2），具体的转换步骤为：①原始分
Y
等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某
校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：
等级
A B C D E
比例 约 15% 约 35% 约 35% 约 13%约 2%
政治学科各等级对应的原始分区间
[81,98]
[72,80]
[66,71]
[63,65]
[60,62]
生物学科各等级对应的原始分区间
[90,100]
[77,89]
[69,76]
[66,68]
[63,65]
现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20 个原始分成绩数据，作出茎叶图：
（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为 82 分，乙同学选考生物学科，其原始分为 91 分，
根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；
（3）根据生物成绩在等级
B
的 6 个原始分和对应的 6 个转化分，得到样本数据
 
,
i i
Y T
，请计算
生物原始分
i
Y
与生物转换分
i
T
之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考
这种“等级转换赋分法”的看法.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级
A B C D E
原始分从高到低排序
的
等级人数占
比
约 15% 约 35% 约 35% 约 13%约 2%
转换
的
赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30, 40]
附2：计算转换分
T
的等比例转换赋分公式：
2 2
1 1
Y Y T T
Y Y T T
 
 
.（其中：
1
Y
，
2
Y
，分别表示原始
分
Y
对应等级的原始分区间下限和上限；
1
T
，
2
T
分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下
限和上限.
T
的计算结果按四舍五入取整数）
附3：
  
6
1
74
i i
i
Y Y T T
 
，
 
6 6
2 2
1 1
5494 74.12
i i
i i
Y Y T T
 
 
 
，
  
   
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
Y Y T T
r
Y Y T T
 
 
 
 
.
20．已知抛物线 C：，过点 的直线 l与抛物线 C 交于 A，B 两点，O为坐标原点．
（1）若 ，求△AOB 外接圆的方程；
（2）若点 A 关于 x 轴的对称点是 A′（A′与 B 不重合），证明：直线 A′B经过定点．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 ，且函数 三个极值 点 ， 求
的取值范围．
选考题：（请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作
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