江苏省海安县曲塘中学2020-2021学年高二上学期阶段性测试二数学试题 含答案

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江苏省 2020-2021 学年曲塘中学高二年级第一学期数学阶段性测试二
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1．若a∈R，则“│a－2│≥1”是“a≤0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．1750 年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用 V、E和F表
示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：V－E＋F＝2．已知正十二面体有 20 个顶点，则
正十二面体的棱数为( )
A．30 B．26 C．20 D．14
3．正项数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 an2＝2Sn－n，则 a5＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
4．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为 200m2的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围
栏，则围栏总长最小需要多少米？( )
A．20 B．40 C．60 D．80
5．已知函数 f(x)＝ ，其中 f '(x)为函数 f(x)的导数，则 f(2020)＋f(－2020)＋f '(2019)－f '(－
2019)＝( )
A．0 B．2 C．2019 D．2020
6．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造
型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图 1，两栋建筑第
八层由一条长 60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥 150m 处各有一窗户，两
窗户的水平距离为 30m，如图 2，则此抛物线顶端 O到连桥 AB 的距离为( )
A．180 B．200 C．220 D．240
7．已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x≥0时，2f '(x)－f(x)＜0(其中 f '(x)为f(x)
的导函数)，若 f(2)＝e，则 f(x)＞( )│x│的解集为( )
A．(－2，2) B．(－，) C．(－ ，2) D．(，2)
8．若椭圆或双曲线上存在点 P，使得点 P到两个焦点 F1、F2的距离之比为 2：1，且存在△PF1F2，则称
此椭圆或双曲线存在“Ω点”．下列曲线中存在“Ω点”的是( )
A．＋＝1 B． ＋ ＝1 C． － ＝1 D．x2－ ＝1
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 5 分，少选得 3 分，错选或不选得 0 分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9．已知球 O的直径 SD＝4，A、B、C是球 O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，则
( )
A．AB⊥SD
B．线段 AB 的最长长度为 2
C．三棱锥 S-ABC 的体积最大值为 3
D．过 SA 作球的截面中，球心 O到截面距离的最大值为 1
10．设数列{xn}，若存在常数 a，对任意正数 r，总存在正整数 N，当 n≥N时，有│xn－a│＜r，则数{xn}
为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有( )
A．等差数列不可能是收敛数列
B．若等比数列{xn}是收敛数列，则公比 q∈(－1，1]
C．若数列{xn}满足 xn＝sin( n)·cos( n)，则{xn}是收敛数列
D．设公差不为 0的等差数列{xn}的前 n项和为 Sn(Sn≠0)，则数列{ }一定是收敛数列
11．已知 x＋y＝1，y＞0，x≠0，则 ＋ 的值可能是( )
A．B．C．D．
12．已知集合 M＝{(x，y)│y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0成立，
则称集合 M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)│y＝x2＋1}，M2＝{(x，y)│y＝}，M3
＝{(x，y)│y＝ex}，M4＝{(x，y)│y＝sinx＋1}，其中是“互垂点集”的是( )
A．M1B．M2C．M3D．M4
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．其中第 16 题有两空，第一空 2 分，第二空 3 分；
其余题均为一空，每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．已知 F1、F2分别为椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为PF2上的三
等分点，且满足│MF2│＝2│PM│，若 OP⊥MF1，则该椭圆的离心率 e的取值范围是________．
14．若函数 f(x)＝x3－3x在x∈(5－m2，m－1)上的值域为[a，b](b＞a)，则 m的取值范围为________．
15．各项都是正偶数的数列 a1、a2、a3、a4中，前三项成公差为 d(d＞0)的等差数列，后三项成公比为 q(q
＞0)的等比数列，若 a4－a1＝88，则公比的取值集合为________．
16．1611 年，约翰内斯 ·
开普勒 提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方
与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积
最密圆球的解答．2017 年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯 ·
黑尔斯 带领的团
队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一
份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照图片中的方式摆放(底
层形状为等边三角形，每边4个球，共4层)，这些排球共________个，最上
面球的球顶距离地面的高度约为________cm(已知排球的直径为 21cm)
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．）
17．(本小题满分 10 分)
在①b·sinA＋a·sinB＝4c·sinA·sinB，②cos2C－2 sin2＋ ＝2，③(a－b)sinA＋b·sinB＝
c·sinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC 中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，sinA·sinB＝ ，c＝2，________．
(1)求C；
(2)求△ABC 的面积 S．
18．(本小题满分 12 分)
设数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝2an－2n+1，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝－，求证： ≤ ．
19．(本小题满分 12 分)
山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营
养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱，现将某水
果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
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