贵州省遵义市南白中学2020届高三最后一模数学（理）试题答案

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高考模拟试题理数（全国卷三）参考答案

1．结合图象易知 2

y x与y x有两个交点，所以 A B的元素个数为 2，故选 B．

2．设iz a b  ，由题意知， 3

cos30 2

a   ，1

sin 30 2

b   ，所以 3 1 i

2 2

z  ，故选 A．

3．湖北最新确诊人数有增有减，A错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B错误；2月4号全

国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C错误；非湖北地区 1月20 日至 2月10 日这几天内

新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D正确，故选 D．

4.设公差为 d，3 6

24OC a OA a OB 

  

，得 3 6 1 1 1

2 5 2 7 24a a a d a d a d        ，3 4

a a

16 2 5a d   ，联立

2 7 24

2 5 16

a d

 



 



，

，解得 4d，故选 B．

【秒杀解】因为 3 4 16a a  ，3 6 4 5 24a a a a    ，则 4 5 3 4

( ) ( ) 24 16 8a a a a      ，即 5 3 2 8a a d   ，

解得 4d，故选 B．

5．易知

tan 4





，∴

2 2 2

1 2

cos 2sin cos 1 2 tan 8

cos sin 2 9

sin cos tan 1 5

   

    

 

 

    

  ，故选 A．

6．1 π cos

( ) ln π cos

f x x x



 

 



  ，0x，1 π cos

( ) ln ( )

π cos

f x f x

x x



 

   

 

 

  ，所以 ( )f x 为奇函数，排除 C，D；

当π

x 

 

 

，时， π cos

ln ln1 0

π cos



   

 



  ，10

x，所以 ( ) 0f x ，故选 A．

7．由伪代码可得 m 2 n 2 m 4 n 4 m 6 n 8 m 8 n 16       ，；，；，；，，因为8 7，所以结束循环，

输出 n 16，故选 C.

8．

∵

⊥平面

ABC

，

∴三棱锥的体积

1 4

3 3

ABC

V S DA 

△

，

∴

2DA 

，

∴

2 2 2 2BD AB DA  

，

2 2 2 2CD DA AC  

．设

的中点

为

，连接

，

，如图 1，则

EF CD 

，

AF BC 

，

AE BD  ，∴AEF△是正三角形，∴=60AEF  ．∵E是DB 的中点，则 //EF DC ，

∴∠ AEF 是异面直线 AE 与DC 所成的角，即异面直线 AE 与DC 所成角的大小为 60，故选 A．

9．( ) ln(e e )

x x

f x 

  ，xR，则( ) ln(e e ) ( )

x x

f x f x



    ，并且 e e

( ) e e

x x

f x



，则[0 )x  ，时，

( ) 0f x

≥，当且仅当 0x时，“=”成立，所以 ( )f x 为在 [0 )x  ，上单增，在 ( 0]x ，上单减的

偶函数，

π π

2 2

1 1 1

sin d ( cos ) |

2 2 2

a x x x  

，

1.1 1

1 1 1

02 2 2

b   

   

   

    ，2 2

3 1

log log 3

3 2

c   ，

2 2

1 1

( ) log 3 log 3

2 2

f c f f

   

  

   

   

图1

第2页共 8页

f 

 

 

，所以

( ) ( ) ( )f c f a f b 

，故选 C．

1 0 ．由等比数列的性质可知

22 0q q  

(

为等比数列的公比)，∴

2q，

m n

a a a

2 2 2

1 1

m n

a q a

 

  ，

∴

2 6m n   ，

即

8m n  ，

所以

m n，

不同，则有三种，

1 2 6m，，

对应

7 6 5n，，，

1 7 2 6 3 5

2 2 2 2 129 2 2 2 2 68 2 2 2 2 40

m n m n m n

           ，，，

故

选B．

11．如图 1所示，线段

在平面

ABCD

上的投影随着点

的变化而变化，故 ① 错；

1 1 | |

3 3

C BPG P BCG BCG BCG

V V S h S AB

 

  

△ △

为定值，②正确；因为

，

分别为棱

AA

，

CC

的中点，所以

EF A D



∥

，

EG A C

 

∥

，

EG EF E

，所以平面

EFG A DC

 

∥平面

，所以

GP∥

平面

A DC

 

，③正确；因为

BD

不垂直于

，所以一定不存在点

，

使得

BD

平面

PDC

，④错误，故选 B．

12．设公共点坐标为

0 0

( )x y，

，则

( ) 6 ( ) 2 4

f x x g x a

 

  ，

，所以

有

0 0

( ) ( )f x g x

 



，即

3 2

x a

 

，解出

x a

 

 

 

 

舍去

，又

0 0 0

( ) ( )y f x g x 

，所以有

3 2x b 

0 0

2 ln 4a x ax

，故

2 2

0 0 0

32 ln

b x ax a x 

，所以有

2 2

1ln

b a a a  

，对

求导有

2 ( 1 ln )b a a

  

，

故

关于

的函数在

 

 

 

，

为增函数在

 

 

 

 

，

为减函数，所以当

a

时，

有最大值

，故

选A．

二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）

题号

答案

(0 4 3]，

【解析】

13．

2xx

 



 

 

展开式的通项公式为

4 4 4 2

1 4 4

C (2 ) ( 1) C (2) ( 1)

r r r r r r r r

T x x x

   

   

，令

2r

，得

2 2

3 4

C 2 24T 

，

所以展开式的常数项为

．

14．因为

( 1) 4f 

，所以

1m≥

时，

( 1) 2f 

，不满足题意，

1m 

时，

( 1) 4f m  

，满足题意，所

以

4m

，又因为

3 log 3 4 

，所以

2 2

3 log 3 3 log 3

1 1 1

(3 log 3) 2 2 2



     

   

     

     

1 1 1

8 3 24

  

．

15．设

1 1

( )A x y，

，

2 2

( )B x y，

，联立方程

2 0

y x

y px

  







，

得

22 4 0y py p  

，显然

0 

，由韦达定理得

1 2 2y y p  ，

1 2 4y y p 

，所以

1 2

| | 1 | | 2 4 16AB y y p p

 

     

 

 

，

y p

，则

x p 

，

图1

第3页共 8页

x

，则

| | | | 2

M N

MN x x   

，又因为

为

的中点，且

ANB 

，所以

| | 2 | |AB MN，

所以

2 4 16 4p p p   

，解得

p

．

16．由

sin

(2 cos ) = sin

1+ cos

A A

，化简得

2sin sin sinC A B 

，所以

2c a b 

．

法一：

4c

，

8a b 

，且满足

8 4

4 8

b b

  



  



  



，

解得

2 6b 

，由余弦定理得

cos A

2 2 2 2 6

b c a b

bc b

  



，又因为

1sin

ABC

S bc A

△

，所以

2 2 2 2 2 2

1sin 4 (1 cos )

ABC

S b c A b A  

△

12( 8 12)(2 6)b b b     

，所以

2(0 48]

ABC

S

△，

，则

(0 4 3].

ABC

S

△，

法二：因为

4c

，

8a b 

，所以顶点

的轨迹为以

和

为焦点的椭圆，由图形可知当

4a b 

，

即

ABC△

为等边三角形时面积最大，此时

4 3

ABC

S

△

，又因为

ABC

S△

可以趋近

，所以

(0 4 3]

ABC

S

△，

．

17．（本小题满分 12 分）

解：（1）

{ }

为等差数列，因为

410S，

55a，

所以

4 6 10a d 

，

14 5a d 

，解得

11a

，

1d

，

所以

a n

．………………………………………………………………………………（3分）

因为

4(4 1)

T 

，

所以当

2n≥

时，

4 4

(4 1) (4 1) 4

3 3

n n n

b T T 



      

；

……………………………………………………………………（5分）

当

1n

时，

1 1 4b T 

，

综上，

b

，

n

N

．…………………………………………………………………（6分）

（2）

1 1 1

log 4 2

( 1) 1

c n

n n n n

 

    

 

 

 

，…………………………………………（8分）

所以

1 2n n

C c c c    

2(1 2 3 )n   

1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 1n n

 

      

 



 



(1 ) 1 1

n n n

 

   

 



 

(1 ) 1

n n n

   ，

所以

(1 ) 1

C n n n

   ，

………………………………………………………………（10 分）

因为

(1 ) 100

C n n n

   



，当

1n≥

时，

(1 ) 1 1

C n n n

    

为关于

的递增数列，

8 9

90 100

C C   

，

110 100

C  

，

所以

的最大值为

．…………………………………………………………………（12 分）

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第1页共8页高考模拟试题理数（全国卷三）参考答案1．结合图象易知2yx与yx有两个交点，所以AB的元素个数为2，故选B．2．设izab，由题意知，3cos302a，1sin302b，所以31i22z，故选A．3．湖北最新确诊人数有增有减，A错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D正确，故选D．4.设公差为d，3624OCaOAaOB，得361112527...

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