（挑战压轴）专项27.3 相似三角形-射影定理综合应用（原卷版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 27.3 相似三角形-射影定理综合应用

【方法技巧】

　一、射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；

且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒ t△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，

则有Ｃ D ２＝ＢＤ•AD、

ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）

二、变式推广

　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，Ｃ

Ｄ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则

有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

　２．一般化，若 △ＡＢＣ不为直角三角形，

当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论

成立。（后文简称：射影定理变式（2））

　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，

或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，

若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△

ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

【类型 1：直角三角形中射影定理】

1．（2021 秋•二道区校级月考）如图，小明在 A时测得某树的影长为 4米，B时又测得该

树的影长为 1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）米．

A．2 B．4 C．6 D．8

2．（2021 秋•双柏县期中）如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，若 BD＝4，CD

＝6，则 AD 的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12

3．（麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角边 AC

相交于点 E，且 DE∥BC ．已知 AE＝2，AC ＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（

　）

A．3 B．4 C．4 D．2

4．（嵩县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则 CD 的

长是（　　）

A．B．6 C．D．

5．（2021 秋•诸暨市期中）如图所示，△ABC 中，AD⊥BC 于D，对于下列中的每一个条

件①∠B+∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD•BC．

其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

6．（2022•长宁区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D，如

果＝，AD＝8，那么 CD 的长是　　．

7．（2021 秋•南岗区校级月考）如图：在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于D，若

AB＝6，AD＝2，则 AC＝　　．

8.（2021 春•汉阴县期中）如图所示，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，对角线 AC，BD

交于 O，且 BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则 AE＝　 cm．

9．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC＝4，BC＝3，则

AD＝　　．

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