（挑战压轴）专项28.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型（解析版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 28.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型

【方法技巧】

通过在三角形内作高 CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 CD 是解题的关键.在

Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，CD 为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：

特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高

1.（2021•阜新）如图，甲楼高 21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是 45°，看乙楼底的俯角是

30°，则乙楼高度约为　　 m（结果精确到 1m， ≈1.7）．

【答案】57

【解答】解：如图，过 A作AE⊥CD 于E，

则AB＝CE，

在△ACE 中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21 米，

∴AC＝21×2＝42（米），

∴AE＝＝＝21 ≈35.7（米），

在Rt△ADE 中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，

∴AE＝DE＝35.7 米，

∴乙楼 DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．

答：乙楼的高约为 57 米．

2.（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场

点P处观看 200 米直道竞速赛．如图所示，赛道 AB 为东西方向，赛道起点 A位于点 P

的北偏西 30°方向上，终点 B位于点 P的北偏东 60°方向上，AB＝200 米，则点 P到赛道

AB 的距离约为　　米（结果保留整数，参考数据： ≈1.732）．

【答案】87

【解答】解：过点 P作PC AB⊥，垂足为 C，

设PC＝x米，

在Rt APC△中，∠APC＝30°，

∴AC＝PC•tan30°＝x（米），

在Rt CBP△中，∠CPB＝60°，

∴BC＝CP•tan60°＝x（米），

∵AB＝200 米，

∴AC+BC＝200，

∴x+ x＝200，

∴x＝50 ≈87，

∴PC＝87 米，

∴点 P到赛道 AB 的距离约为 87 米，

故答案为：87．

3.（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔 P的南偏东 60°方向，距离灯塔 50 海里的 A处，

它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的北偏东 45°方向上的 B处，此时 B处

与灯塔 P的距离为　海里（结果保留根号）．

【答案】25 　

【解答】解：过 P作PC⊥AB 于C，如图所示：

由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50 海里，

在Rt△APC 中，cos∠APC＝，

∴PC＝PA•cos∠APC＝50× ＝25 （海里），

在Rt△PCB 中，cos∠BPC＝，

∴PB＝＝＝25 （海里），

故答案为：25 ．

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