（挑战压轴）专项28.2 锐角三角函数实际应用-母子型（解析版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 28.2 锐角三角函数实际应用-母子型

【方法技巧】

通过在三角形外作高 BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 BC 是解题的关键.在

Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：

特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高

1．（2022•武昌区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的 A点观测对岸 C点，

测得∠CAD＝45°，小刚在距离 A点80 米的 B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算

出河宽为　米（ ≈1.414， ≈1.732，精确到个位）．

【答案】109

【解答】解：过点 C作CE⊥DB，垂足为 E，

设CE＝x米，

在Rt△CEA 中，∠CAE＝45°，

∴AE＝＝＝x（米），

∵AB＝80 米，

∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，

在Rt△BEC 中，∠CBE＝30°，

∴tan30°＝＝＝，

∴x≈109，

经检验：x≈109 是原方程的根，

∴河宽约为 109 米，

故答案为：109．

2．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图 1），其红外线探测点 O可以

在垂直于地面的支杆 OP 上自由调节（如图 2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探

测角∠OAC＝37°．测温区域 AB 的长度为 2米，则该设备的安装高度 OC 应调整为（

）米．（精确到 0.1 米．参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，sin37°≈

，cos37°≈ ，tan37°≈ ）

A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7

【答案】B

【解答】解：设 BC＝xm，

∵AB＝2m，

∴AC＝（x+2）m，

∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°

∴tan∠OBC＝tan67°≈ ，tan∠OAC＝tan37°≈ ，

∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈ x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈ （x+2），

∴x＝（x+2），

解得：x＝，

∴OC≈x＝ ≈2.2m，

故选：B．

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