《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第5讲 二次函数的图像与性质原卷版

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第 5 讲 二次函数的图像与性质
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
3．.经历探索二次函数图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实
际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
知识点 01 二次函数 y=ax2（a≠0）的图像及性质
1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图像
用描点法画出二次函数 y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关
于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线 y=x2关于 y 轴对称，所以 y 轴是这条抛物线的对称轴，
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线 y=x2的顶
点是图像的最低点。因为抛物线 y=x2有最低点，所以函数 y=x2有最小
值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数 y=ax2(a≠0)的图像的画法
用描点法画二次函数 y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x
的值，然后计算出对应的 y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
特别说明：二次函数 y=ax2(a≠0)的图像．用描点法画二次函数 y=ax2(a≠0)的图像，该图像是轴
对称图形，对称轴是 y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把 y=ax2(a≠0)的图像左右、上下
平行移动可以得到 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与
x
轴的交点，5）与
y
轴的交点.
3.二次函数 y=ax2(a≠0)的图像的性质
二次函数 y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：
函数 　 图像 开口方
向
顶点坐标 对称
轴
函数变化 最大（小）
值
目标导航
知识精讲
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随 x 增
大而增大；
　　x<0 时，y 随 x 增
大而减小.
　当 x=0
时，y 最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随 x 增
大而减小；
　　x<0 时，y 随 x 增
大而增大.
　当 x=0
时，y 最大=0
特别说明：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图像两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，Ã图像两边越靠近 x 轴.
【知识拓展 1】
画函数 的图像．
【即学即练 1】画出二次函数 y＝x2的图像．
【知识拓展 2】
如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是① y＝ax2；② y＝bx2；③ y＝cx2；④ y＝dx2．则
a、b、c、d的大小关系为_____．
【即学即练 1】如图，已知点 A（-4，8）和点 B（2，n）在抛物线 y=ax2上．求 a的值及点 B的坐
标.
【知识拓展 3】
函数 y=ax2（a≠0）与直线 y=2x-3 的图像交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线 y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作 y=ax2的草图．
【即学即练】已知函数 是关于 x的二次函数．
（1）求 m的值．
（2）当 m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当 m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
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