《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.3.1函数的单调性（解析版)

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5.3.1 函数的单调性
题型 1 求不含参函数的单调区间.............................................................................................2
题型 2 含参函数单调区间......................................................................................................5
◆类型 1 导数为 1个根....................................................................................................5
◆类型 2 导数为 2个根....................................................................................................8
◆类型 3 不能因式分解..................................................................................................13
题型 3 已知单调区间求参数.................................................................................................17
◆类型 1 已知单增单减求取值范围..................................................................................17
◆类型 2 存在单增单减区间问题.....................................................................................21
◆类型 3 已知单调区间问题............................................................................................25
◆类型 4 不单调问题.....................................................................................................28
题型 4 单调性与图象...........................................................................................................28
题型 5 利用导数图象解不等式..............................................................................................34
知识点一.函数的单调性与导数的关系
1.一般地，在区间（a，b）上，函数 f（x）的单调性与导数 f′（x）的正负有如下关系.
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)=0 常函数
2. 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性∶
第1步∶确定函数的定义域；
第2步∶求出导数 f(x)的零点；
第3步∶用 f(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f(x)在各区间上的正负，由此得出函
数y=f(x)在定义域内的单调性.
知识点二.函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示.
图像
导数 导数为正，且绝对
值越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对
值越来越大
导数为负，且绝对
值越来越小
函数值 函数值变化越来越 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越 函数值变化越来越
快 快 慢
图像特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓
题型 1 求不含参函数的单调区间
【例题 1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数
f(x)=(x − 3)ex
的单调递减区间是（oooo）
A．
¿
,
2¿
B．
¿
,
3¿
C．
¿
,
D．
¿
,
+∞¿
【答案】A
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式
f ′ (x)<0
进行求解即可.
【详解】函数的导数
f′
(
x
)
=ex+
(
x− 3
)
ex=
(
x −2
)
ex
o
由
f′
(
x
)
<0
得
(
x− 2
)
ex<0
，
即
x − 2<0
得
x<2
，
即函数的单调递减区间为
¿
,
2¿
，
故选：A
【 变 式 1-1 】1． （ 2022· 云 南 ·昆明一中模拟预测（理））设 a为实数，函数
f(x)=x3+(a −1)x2−(a+2)x
，且
f′(x)
是偶函数，则
f(x)
的单调递减区间为（oooo）
A．
(0,2)
B．
(−❑
√
3,❑
√
3)
C．
(−1,1)
D．
(−3,3)
【答案】C
【分析】求导，结合
f′(x)
是偶函数得到
f′
(
− x
)
=f′
(
x
)
，求出
a=1
，从而根据
f′(x)=3x2−3
小于 0，求出
单调递减区间.
【详解】因为
f(x)=x3+(a − 1)x2−(a+2)x
，所以
f′(x)=3x2+2(a −1)x −(a+2)
，
又因为
f′(x)
是偶函数，所以
f′
(
− x
)
=f′
(
x
)
，
即
3
(
− x
)
2−2
(
a −1
)
x −
(
a+2
)
=3x2+2
(
a − 1
)
x −
(
a+2
)
，故
a −1=0
，即
a=1
，
所以
f′(x)=3x2−3
，令
f′
(
x
)
<0
，解得
−1<x<1
，
所以
f(x)
的单调递减区间为
(−1,1)
.
故选：C．
【变式 1-1】2．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为_
_____.
【答案】
(
− ∞,+∞
)
【分析】求出导函数
f′
(
x
)
，解不等式
f′
(
x
)
≥0
即可得到.
【详解】由题意知，
f
(
x
)
=x3− x2+x
定义域为 R，
f′
(
x
)
=3x2−2x+1
，
且
f′
(
x
)
=3x2−2x+1=3
(
x − 1
3
)
2
+2
3>0
在R上恒成立，
所以，函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为
(
− ∞,+∞
)
.
故答案为：
(
− ∞,+∞
)
【变式 1-1】3．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）己知函数
f
(
x
)
=x2+5x+2 ln x
，则函数
f
(
x
)
的单调递增区间是_____________．
【答案】
(0,+∞)
【分析】利用导数法求单调区间即可
【详解】函数
f
(
x
)
=x2+5x+2 ln x
，其定义域
{
x
|
x>0
)
)
，
则
f′
(
x
)
=2x+5+2×1
x=2x2+5x+2
x>0
在
(
0,+∞
)
恒成立，
所以函数
f
(
x
)
o的单调递增区间是
(
0,+∞
)
.
故答案为：
(
0,+∞
)
.
【变式 1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）设函数
f(x)=e
2x+ln x(x>0)
，求
f(x)
的单调区间．
【答案】
f
(
x
)
的减区间为
(
0,e
2
)
，增区间为
(
e
2,+∞
)
.
【分析】求出导函数
f′(x)
，由
f′(x)>0
得增区间，由
f′(x)<0
得减区间．
【详解】
f′
(
x
)
=−e
2x2+1
x=2x −e
2x2
，
当
0<x<e
2
，
f′
(
x
)
<0
，当
x>e
2
，
f′
(
x
)
>0
，
所以
f
(
x
)
的减区间为
(
0,e
2
)
，
f
(
x
)
的增区间为
(
e
2,+∞
)
.
【变式 1-1】5．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））已知函数
f(x)=x3− x2− x+2
.
(1)求曲线
f(x)
在点
(
2, f
(
2
)
)
处的切线方程；
(2)求
f(x)
的单调区间.
【答案】(1)
7x − y − 10=0
(2)递增区间为
(− ∞ , − 1
3)
，
(1,+∞)
；递减区间为
(
−1
3,1
)
【分析】（1）求出函数的导函数，再求得
f'
(
2
)
=7
与
f
(
2
)
=4
，利用点斜式可求得曲线
f(x)
在点
(
2, f
(
2
)
)
处
的切线方程；
（2）由
f′
(
x
)
=3x2−2x −1=
(
x −1
) (
3x+1
)
，利用导函数
f'(x)
与函数
f(x)
的单调性的关系可得答案.
【详解】（1）
∵f
(
x
)
=x3− x2− x +2
，
∴f′
(
x
)
=3x2−2x−1=
(
x−1
) (
3x+1
)
，
∴f'
(
2
)
=7
，又
f
(
2
)
=4
，
∴
曲线
f(x)
在点
(
2, f
(
2
)
)
处的切线方程为
y −4=7
(
x −2
)
，
即
7x − y − 10=0
；
（2）
∵f′
(
x
)
=3x2−2x −1=
(
x −1
) (
3x+1
)
，
∴当
x∈
(
−∞ ,− 1
3
)
∪
(
1,+∞
)
时，
f'(x)>0
，当
x∈
(
−1
3,1
)
时，
f'(x)<0
，
∴f(x)
在
(− ∞ , − 1
3)
，
(1,+∞)
上单调递增，在
(
−1
3,1
)
上单调递减.
∴f(x)
的递增区间为
(− ∞ , − 1
3)
，
(1,+∞)
；递减区间为
(
−1
3,1
)
.
题型 2 含参函数单调区间
◆类型 1 导数为 1个根
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