《【口袋书】2023年中考数学必背知识手册》知识必备01 实数（公式、定理、结论图表）

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知识必备 01 数与式（公式、定理、结论图表）
考点一、实数的有关概念、性质
1．实数及其分类
实数可以按照下面的方法分类：
实数还可以按照下面的方法分类：
典例 1：实数
2
，
0.3
，
1
7
，
2
，
π
中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：
（1）字母型：如 π 是无理数，
2 4
 
、
等都是无理数，而不是分数；
（2）构造型：如 2.10100100010000…（每两个 1 之间依次多一个 0）就是一个无限不循环的小数；
（3）根式型：
…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
【答案】A；
【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，
2
，
π
都是无限不循环小数，
故共有 2 个无理数.
【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含
的数；③看似循环但实际不循环的小数；
④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无
理数的相关试题.
2．数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过
来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．
3．相反数
实数 a 和-a 叫做互为相反数．零的相反数是零．
一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．
4．绝对值
一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即
如果 a＞0，那么|a|＝a；
如果 a＜0，那么|a|＝-a；
如果 a＝0，那么|a|＝0．
典例 2：阅读下面的材料，回答问题：
点
A
、
B
在数轴上分别表示实数
a
、
b
，
A
、
B
两点之间的距离表示为
AB
．当
A
、
B
两点中有一点在原
点时，不妨设点
A
在原点，如图 1-1，
AB OB b a b  
；当
A
、
B
两点都不在原点时：
（1）如图 1-2，点 A、B 都在原点的右边，
AB OB OA b a b a a b  
；
（2）如图 1-3，点 A、B 都在原点的左边，
( )AB OB OA b a b a a b a b  
；
（3）如图 1-4，点 A、B 在原点的两边，
( )AB OA OB a b a b a b a b    
．
综上，数轴上
A
、
B
两点之间的距离
AB a b 
．
回答下列问题：
（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离
是 ；数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示
x
和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ．如果
2AB
，那么
x
= ．
【答案】（1）3，3，4；（2）
1x
或
3x 
．
依据阅读材料，所获得的结论为
AB a b 
，结合各问题分别代入求解．
（1）
2 5 3, 2 ( 5) 3, 1 ( 3) 4    
；（2）
( 1) 1AB x x  
；
因为
2AB
，所以
1 2x 
，所以
1 2x 
或
1 2x  
．所以
1x
或
3x 
．
5．实数大小的比较
（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．
（2）正数都大于 0；负数都小于 0，两个负数绝对值大的那个负数反而小.
B
b a
A
图1-3
O
0
O
0b
B
图1-2
a
A
O（A）
0b
B
图1-1
b a
A
图1-4
O
0
B
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