《【口袋书】2023年高考数学必背知识手册（新教材）》第四章 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）

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第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）
一．根式及相关概念
(1)
a
的
n
次方根定义
如果
x n
＝
a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈N*.
(2)
a
的
n
次方根的表示
n
的奇偶性
a
的
n
次方根的表示符号
a
的取值范围
n
为奇数 R
n
为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数．
二．根式的性质(
n
>1，且
n
∈N*)
(1)
n
为奇数时，＝
a
.
(2)
n
为偶数时，＝|
a
| ＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()
n
中实数
a
的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当
n
为大于 1 的奇数时，
a
∈R；
当
n
为大于 1 的偶数时，
a
≥0.
三．分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂 规定：
a
＝(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)
负分数指数幂 规定：
a
－＝＝
(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)
0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0，
0 的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式
a
＝中，为什么必须规定
a
>0?
提示：①若
a
＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即＝
a
＝0，无研究价值．
②若
a
<0，
a
＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了
a
>0.
四．有理数指数幂的运算性质
(1)
aras
＝
a r
＋
s
(
a
>0，
r
，
s
∈Q)．
(2)(
ar
)
s
＝
a rs
(
a
>0，
r
，
s
∈Q)．
(3)(
ab
)
r
＝
a r
b r
(
a
>0，
b
>0，
r
∈Q)．
五．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂
aα
(
a
>0，
α
是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用
于无理数指数幂．
六．指数函数的概念
一般地，函数
y
＝
a x
(
a
>0，且
a
≠1)叫做指数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是 R.
七．指数函数的图象和性质
a
的范围
a
＞1 0＜
a
＜1
图象
性
质
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
过定点 (0,1)，即当
x
＝0 时，
y
＝1
单调性 在 R上是增函数 在 R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数
y
＝
ax
与
y
＝
a
－
x
的图象关于
y
轴
对称
思考 1：指数函数
y
＝
ax
(
a
>0 且
a
≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数
y
＝
ax
(
a
>0 且
a
≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母
a
.当
a
>1 时，图象具有上升
趋势；当 0<
a
<1 时，图象具有下降趋势．
思考 2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律．
八．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数
a
的范围是
a
>0
，且
a
≠1
.
九．常用对数与自然对数
十．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)log
a
1＝0(
a
>0，且
a
≠1)．
(3)log
aa
＝1(
a
>0，且
a
≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：
ax
＝
N
(
a
>0 且
a
≠1)，则总有
N
>0，所以转化为对数式
x
＝log
aN
时，不存在
N
≤0
的情况．
十一．对数的运算性质
如果
a
>0，且
a
≠1，
M
>0，
N
>0，那么：
(1)log
a
(
MN
)＝log
aM
＋
log
aN
；
(2)log
a
＝log
aM
－
log
aN
；
(3)log
aMn
＝
n
log
aM
(
n
∈R)．
思考：当
M
>0，
N
>0 时，log
a
(
M
＋
N
)＝log
aM
＋log
aN
，log
a
(
MN
)＝log
aM
·log
aN
是否成立？
提示：不一定．
十二．对数的换底公式
若
a
>0 且
a
≠1；
c
>0 且
c
≠1；
b
>0，
则有 log
ab
＝.
十三．对数函数的概念
函数
y
＝log
ax
(
a
>0，且
a
≠1)叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是(0 ，＋∞ ) ．
思考 1：函数
y
＝2log3
x
，
y
＝log3(2
x
)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
十四．对数函数的图象及性质
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