《【口袋书】2023年高考数学必背知识手册（新教材）》第三章 函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）

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第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）
1．函数的概念
定义
一般地，设
A
，
B
是非空的实数集，如果对于集合
A
中的任意一个数
x
按照某种
确定的对应关系
f
，在集合
B
中都有唯一确定的数
y
和它对应，那么就称
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数
三
要
素
对应关系
y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A
定义域 自变量
x
的取值范围
值域 与
x
的值相对应的
y
的函数值的集合{
f
(
x
)|
x
∈
A
}
思考 1：(1)有人认为“
y
＝
f
(
x
)”表示的是“
y
等于
f
与
x
的乘积”，这种看法对吗？
(2)
f
(
x
)与
f
(
a
)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号
y
＝
f
(
x
)是“
y
是
x
的函数”的数学表示，应理解为
x
是自变量，它是关系所施加的对象；
f
是对
应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；
y
是自变量的函数，当
x
允许取某一具体值时，相应的
y
值为与该自变量值对应的函数值．
y
＝
f
(
x
)仅仅是函数符号，不表示“
y
等
于
f
与
x
的乘积”．在研究函数时，除用符号
f
(
x
)外，还常用
g
(
x
)，
F
(
x
)，
G
(
x
)等来表示函数．
(2)
f
(
x
)与
f
(
a
)的区别与联系：
f
(
a
)表示当
x
＝
a
时，函数
f
(
x
)的值，是一个常量，而
f
(
x
)是自变量
x
的函数，一般情况下，它是一个变量，
f
(
a
)是
f
(
x
)的一个特殊值，如一次函数
f
(
x
)＝3
x
＋4，当
x
＝8 时，
f
(8)＝3×8＋4＝28 是一个常数．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设
a
，
b
∈R，且
a
<
b
，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{
x
|
a
≤
x
≤
b
} 闭区间 [
a
，
b
]
{
x
|
a
<
x
<
b
} 开区间 (
a
，
b
)
{
x
|
a
≤
x
<
b
} 半开半闭区间 [
a
，
b
)
{
x
|
a
<
x
≤
b
} 半开半闭区间 (
a
，
b
]
(2)特殊区间的表示
定义 R{
x
|
x
≥
a
} {
x
|
x
＞
a
} {
x
|
x
≤
a
} {
x
|
x
＜
a
}
符号 ( －∞，＋∞ ) [
a
，＋∞) (
a
，＋∞) (－∞，
a
] (－∞，
a
)
思考 2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端
必须是小括号．
3.函数的表示法
思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？
提示：不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如
D
(
x
)＝列表法虽
在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
4.分段函数
如果函数
y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A
，根据自变量
x
在
A
中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的
函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
5．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数
f
(
x
)的定义域为
I
，区间
D
⊆
I
：如果∀
x
1，
x
2∈
D
，当
x
1＜
x
2时
都有
f
(
x
1) ＜
f
(
x
2) 都有
f
(
x
1) ＞
f
(
x
2)
结论 那么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增函数 那么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是
减函数
图示
思考 1：增(减)函数定义中的
x
1，
x
2有什么特征？
提示：定义中的
x
1，
x
2有以下 3 个特征：
(1)任意性，即“任意取
x
1，
x
2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定
x
1<
x
2；
(3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数
y
＝
f
(
x
)在区间
D
上单调递增或单调递减，那么就说函数
y
＝
f
(
x
)在这一区间具有(严格的)单
调性，区间
D
叫做
y
＝
f
(
x
)的单调区间．
思考 2：函数
y
＝在定义域上是减函数吗？
提示：不是．
y
＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说
y
＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)
上递减．
6.函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件
设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：∀
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤
M f
(
x
)≥
M
∃
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0) ＝
M
结论
M
是函数
y
＝
f
(
x
)的最大值
M
是函数
y
＝
f
(
x
)的最小值
几何意
义
f
(
x
)图象上最高点的纵坐标
f
(
x
)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数
f
(
x
)≤
M
，则
M
一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点
x
0，使
f
(
x
0)＝
M
时，
M
才是函数的最大值，否则不是．
7.函数的奇偶性
奇偶性偶函数 奇函数
条件 设函数
f
(
x
)的定义域为
I
，如果∀
x
∈
I
，都有－
x
∈
I
结论
f
(－
x
)＝
f
(
x
)
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)
图象特点关于
y
轴
对称 关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
8．幂函数的概念
一般地，函数
y
＝
x α
叫做幂函数，其中
x
是自变量，
α
是常数．
9．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数
y
＝
x
，
y
＝
x
2，
y
＝
x
3，
y
＝
x
，
y
＝
x
－1 的图象如图所示：
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