《【口袋书】2023年高考数学必背知识手册（新教材）》第二章 一元二次函数 、 方程和不等式（公式、定理、结论图表）

3.0 cande 2025-05-02 4 4 193KB 9 页 3知币
侵权投诉
第二章 一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数 a，b的比较大小
文字语言 数学语言 等价条件
a－b是正数 a－b＞0a＞b
a－b等于零 a－b＝0a＝b
a－b是负数 a－b＜0a＜b
3.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，
当且仅当 a ＝ b
时，等号成立．
4．等式的性质
(1) 性质 1 如果 a＝b，那么 b＝a；
(2) 性质 2 如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c；
(3) 性质 3 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
(4) 性质 4 如果 a＝b，那么 ac＝bc；
(5) 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么＝.
5．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b ＜ a .
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a ＞ c .
(3)可加性：a＞b⇔a ＋ c ＞ b ＋ c .
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc ；a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc .
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a ＋ c ＞ b ＋ d .
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd .
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n
＞ b n
＞ 0( n ∈ N ， n ≥2) ．
6．基本不等式
(1)有关概念：当 a，b均为正数时，把叫做正数 a，b的算术平均数，把叫做正数 a，b的
几何平均数．
(2)不等式：当 a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即
≤，当且仅当 a ＝ b
时，等号成立．
7.已知 x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y时，积 xy 取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当 x＝y时，和 x＋y取得最小值 2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
8．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2
的不等式，称为一元二次不等式．
9．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考 1：不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
10．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称
为这个一元二次不等式的解集．
思考 2：类比“方程 x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．
不等式 x2>1 的解集及其含义是什么？
提示：不等式 x2>1 的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即
不等式的每一个解均使不等式成立．
11．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0Δ＝0Δ＜0
解不等
式y＞0
或y＜0
的步骤
求方程 y＝0的解 有两个不相等的实数
根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝－
没有
实数根
画函数 y＝ax2＋bx＋
c(a＞0)的图象
得等的集
不式解
y＞0 { x | x ＜ x 1_或
x ＞ x 2}R
y＜0 { x | x 1＜ x ＜ x 2}∅ ∅
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则解得
a∈∅，所以不存在 a使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R.
12．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0(＜0)
(其中 a，b，c，d为常数)
法一：
或
法二：
(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0)
法一：
或
法二：
＞k(其中 k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式
思考 1：>0 与(x－3)(x＋2)>0 等价吗？将>0 变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
13．(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0b＝0，c>0 b＝0，c<0
《【口袋书】2023年高考数学必背知识手册（新教材）》第二章 一元二次函数 、 方程和不等式（公式、定理、结论图表）.docx

共9页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：高中 价格：3知币 属性：9 页 大小：193KB 格式：DOCX 时间：2025-05-02

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 9
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注