《【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（浙教版）》第11讲 三元一次方程组及其解法（原卷版）

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第 11 讲 三元一次方程组及其解法
2.5
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【基础知识】
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程．如 x+y-z＝1，2a-
3b+4c＝5 等都是三元一次方程．
要点：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次
数是 1 次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量
即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立
三元一次方程组求解．
二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为
“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知
数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结
果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点剖析】
例1．解三元一次方程组 ，如果消掉未知数 z，则应对方程组变
形为（）
A．① + ③，① ×2﹣② B．① + ③，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣②
，① ×2﹣③
例2．已知方程组 ，则 的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．已知 ， ，则 y与x的关系是（）
A．B．C．D．
例4．已知方程组 的解 ， 使 成立，则 的值
是()
A．0 B．C．1 D．2
例5．解方程组：
例6．解方程组：
例7．解下列方程组：
（1）（2）
例8．解三元一次方程组 ．
例9．探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组 ，如果令 =A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出 A，B，C的值，从而得到：x=
______；y=______；z=______．
例10．两个小伙伴共带 100 只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的
价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖 15 元．”另一个说：“如果我
有你那么多鸡蛋，只能卖 元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答．
例11．某工程由甲、乙两队合做 6天完成，厂家需付甲、乙两队共 元；乙、
丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 元；甲、丙两队合做 5天完成全部工
程的 ，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说
明理由
．
例12．已知实数 x，y满足 ①， ②，求 和 的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得 x，y的值，再代入欲求值的整式得
到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本
题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 ，由①+ ×2②可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 __________，_________．
(2)对于实数 x、y，定义新运算： ，其中 a、b、c是常数，等式右边是通常
的加法和乘法运算．已知 ， ，求 的值．
例13．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的
值，如以下问题：
已知实数 x、y满足 ①， ②，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x、y的值再代入欲求值的代数式得到答
案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还
可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2 可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 、则 ___________，__________．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20 支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需 32 元，买39 支
铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58 元，则购买 5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少
元？
例14．在 正方形网格中有 9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相
等，则称此图为“九宫图”．
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