《【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（浙教版）》第11讲 三元一次方程组及其解法（解析版）

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第 11 讲 三元一次方程组及其解法
2.5
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【基础知识】
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程．如 x+y-z＝1，2a-
3b+4c＝5 等都是三元一次方程．
要点：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次
数是 1 次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量
即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立
三元一次方程组求解．
二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为
“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知
数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结
果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点剖析】
例1．解三元一次方程组 ，如果消掉未知数 z，则应对方程组变
形为（）
A．① + ③ ，① ×2﹣② B．① + ③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③
D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组 z前面的系数都为 1，所以直接相减消去
【解析】 得：
得：
方程组变形为 ，刚好消去 z
故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
例2．已知方程组 ，则 的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三个方程相加计算即可．
【解析】因为 ，
将三个方程相加，得 2（x+y+z）=2-1+3，
解得 =2，
故选 B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
例3．已知 ， ，则 y与x的关系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知两等式相加消去 k即可得到 y与x的关系式．
【解析】解：联立得： ，
①+② 得：x+y=5．
故选：C．
【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去 k是解本题的关键．
例4．已知方程组 的解 ， 使 成立，则 的值
是()
A．0 B．C．1 D．2
【答案】D
【分析】先利用方程组得出用含 m的代数式表示 x、y，再把 x、y的值代入到
，解方程即可得到 m的值．
【解析】解：由题意可知， ①， ②，
由①+②并化简，可得 ，
由②×2-①并化简，可得 ，
将 ， 的值代入 ，可解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代
入消元法．
例5．解方程组：
【答案】
【分析】第一个与第三个方程相加解出 x，第一个与第二个方程相加列出关于 的方程
组，再将 x代入求出 y，进而求出 z的值，即可得到方程组的解．
【解析】解： 得：
得： ④
把 代入④得：
把 ， 代入①得：
所以原方程组的解是：
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