《【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（浙教版）》第10讲 二元一次方程组的应用（原卷版）

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第 10 讲 二元一次方程组的应用
2.4
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解
方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模
型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
【基础知识】
一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
= 100%
利润
利润率 进价
.
二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方
程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两
边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点剖析】
例1．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场得 1
分．七年级一班在 16 场比赛中得 26 分．设该班胜 x场，负 y场，则根据题意，下列方程组
中正确的是（）
A．B．C．D．
例2．小李家去年节余 5000 元，今年可节余 9500 元，并且今年收入比去年高
，支出比去年低 ，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为 元，支出为 元，
则可列方程组为（）
A．B．C．D．
例3．如图，10 块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别
为 厘米和 厘米，则依题意列方程组正确的是（）
A．B．C．D．
例4．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒
精湿巾每包2元，共用了20 元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
例5．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数
大63，这样的两位数共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例6．咖啡 A与咖啡 B以 之比（以质量计）混合，A的原价为 50 元/kg，B的原
价为 40 元/kg．若A的价格增加 ，而 B的价格减少 ，且混合咖啡每千克的价格不
变，则 等于（）
A．B．C．D．
例7．甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了
40 分钟到达了 地，而乙车比甲车晚 5分钟到达 地，设甲车和乙车的速度分别为
， ，则下列方程组正确的是（）
A．B．C．D．
例8．某校组织一批学生去研学，若单独租用45 座新能源客车若干辆，则有 15 人
没有座位；若单独租用35 座新能源客车，则用车数量将增加 2辆，并空出15 个座位．现
在要求同时租用 45 座和35 座两种车型的新能源客车，既保证每人有座位，又保证每辆车
不空座位，则需45 座和35 座两种车型的数量分别为（）
A．3辆、2辆B．2辆、3辆C．1辆、4辆D．4辆、1辆
例9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面
的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为 55cm，此时木桶
中水的深度是()
A．16 B．18 C．20 D．24
例10．某同学去蛋糕店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只
能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了 50 个面包，则他最少需要花（）元．
A包装盒 B包装盒
每盒面包个数（个） 3 8
每盒价格（元） 5 11
A．71 B．74 C．75 D．81
例11．某公司在安排出差的 22 名员工住宿时，有 2人间和 3人间两种房间可供选
择，如果每一个房间都住满，则安排住宿的方案有_______种．
例12．A，B两地相距80km．一艘船从 A出发，顺水航行4h 到B，而从B出发逆水
航行5h 到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和
与差，船在静水中的速度是__________km/h．
例13．一次越野赛跑中，当小明跑了 时，小刚跑了 ．此后两人分别以
和匀速跑．又过 小刚追上小明， 时小刚到达终点， 时小明到达
终点．这次越野赛跑的全程为_______ ．
例14．今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售
出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多 50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售
出的甲款手机的数量少 40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲
乙两款手机的总数量多 12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手
机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙
款手机的单价的比值为______．
例15．淇淇的爸爸骑摩托车载着淇淇在公路上匀速行驶，在 12：00 点时，淇淇看
到路边里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为 7，在 13：00 点时看到路边里程
碑上的数仍然是一个两位数，但十位与个位数字与 12：00 点时看到的正好互换了，在
14：00 点时看到的数比 12：00 点时看到的两位数中间多了个0．则淇淇在14：00 点时看
到路边里程碑上的数为______．
例16．某服装店用5700 元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润
3600 元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格A型B型
进价（元/件）60 100
标价（元/件）100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果 A种服装按标价的 9折出售，B种服装按标价的 8折出售，那么这批服装全部售完
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