《【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（浙教版）》第10讲 二元一次方程组的应用（解析版）

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第 10 讲 二元一次方程组的应用
2.4
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解
方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模
型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
【基础知识】
一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
= 100%
利润
利润率 进价
.
二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方
程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两
边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点剖析】
例1．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场得 1
分．七年级一班在 16 场比赛中得 26 分．设该班胜 x场，负 y场，则根据题意，下列方程组
中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据七年级一班在 16 场比赛中得 26 分，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，
此题得解．
【解析】解：由题意可知 ， ，
联立方程组得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
例2．小李家去年节余 5000 元，今年可节余 9500 元，并且今年收入比去年高 ，
支出比去年低 ，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为 元，支出为 元，则
可列方程组为（）
A．B．C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为 元 去年的支出 元 结余 5000 元；
②今年的收入 今年的支出 今年可节余 9500 元，根据等量关系列出方程组即可．
【解析】解：设去年的收入为 元，支出为 元，根据题意可得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组
时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关
系是解决本题的关键．
例3．如图，10 块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别
为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为 x＋2y，宽又是75 厘米，故 x＋2y＝
75，大长方形的长可以表示为 2x，或x＋3y，故 2x＝3y＋x，整理得 x＝3y，联立两个方程
即可．
【解析】解：根据图示可得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示
出长方形的长和宽．
例4．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒
精湿巾每包2元，共用了 20 元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】设可以买 包口罩，包酒精湿巾，利用总价 单价 数量，即可得出关于 ，
的二元一次方程，结合 ， 均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解析】解：设可以买 包口罩，包酒精湿巾，
依题意得： ，
又，均为正整数，
或 或 ，
小明共有种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
例5．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数
大63，这样的两位数共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为 x， 十位为 y，则这个两位数为 10y+x， 所以交换其个位数
与十位数的位置，所得新两位数为 10x+y，再列方程 10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正
整数解即可．
【解析】解：设原两位数的个位为 x， 十位为 y， 则这个两位数为 10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为 10x+y，
则10x+y−10y−x=63，
整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且 0<x<9，0<y<9，
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