《【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（浙教版）》第08讲 二元一次方程与二元一次方程组（解析版）

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第 08 讲 二元一次方程与二元一次方程组
2.1-2.2
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.
【基础知识】
一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方
程．
要点：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组
解．
要点：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
2,
5.
x
y
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如
52
013
yx
x
也是二元一次
方程组.
四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成
x a
y b
的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
2 5
2 6
x y
x y
 
 
无
解，而方程组
1
2 2 2
x y
x y
 
 
的解有无数个．
【考点剖析】
例1．下列方程中，二元一次方程的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【解析】解：A．含有 2个未知数，未知数的项的最高次数是 2的整式方程，不属于二元一
次方程，不符合题意；
B．含有 1个未知数，未知数的项的最高次数是 2的整式方程，不属于二元一次方程，不符
合题意；
C．含有 2个未知数，未知数的项的最高次数是 1的整式方程，属于二元一次方程，符合题
意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含
有2个未知数，未知数的项的次数是 1的整式方程．
例2．已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】把方程组的解代入原方程组可得 变形可得 从而可得答案．
【解析】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
∴ 即
∴
故选 A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟练掌握知识点是解本题的关键．
例3．如果 3xm+1+5yn
﹣
2＝0是关于 x、y的二元一次方程，那么（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得到关于 m、n的方程，可求得答案．含有两个未知
数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【解析】解：∵3xm+1+5yn
﹣
2＝0是关于 x、y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为 1是解
题的关键．
例4．二元一次方程 2x＋3y＝15 的非负整数解有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】要求二元一次方程 2x＋3y＝15 的非负整数解，可先从 y＝0开始，分别把 y＝
0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的 x的值，然后进行判断．
【解析】解：当 y＝0，x＝7.5，
当y＝1，x＝6，
当y＝2，x＝4.5，
当y＝3，x＝3，
当y＝4，x＝1.5，
当y＝5，x＝0，
∴二元一次方程 2x＋3y＝15 的非负整数解有 3个，分别为：y＝1，x＝6；y＝3，x＝3；y＝
5，x＝0．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解本题的关键在正确求出二元一次方程 2x＋3y＝
15 的非负整数解．
例5．下列方程组为二元一次方程组的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是
1的方程叫做二元一次方程判断即可；
【解析】解：A. 中，x的次数是 2，故 A选项不符合题意；
B. 是二元一次方程组，故 B选项符合题意；
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