《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案12 导数在研究函数中的应用——极值（原卷版）

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复习案 12 导数在研究函数中的应用--极值
【知识回顾】
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x
＝a附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0.则a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小
值.
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x
＝b附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0.则b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大
值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
【重点题型剖析】
题型一 函数极值与极值点的辨析
一、单选题
1．（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（文））已知 没有极值，
则实数 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，则（）
A．B． 的定义域为
C． 有极大值 D． 的值域为
3．（2022·山东聊城一中高三阶段练习）函数 的极值点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知函数 在区间
恰有 3个极值点，2个零点，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）若函数 在 恰好存在
两个零点和两个极值点，则（）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有且仅有一个极值点，则实数 m的取
值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设函数 是函数 的导函数，且满足 ，
，则（）
A． 有极大值 B．C．D．
三、填空题
8．（2022·北京铁路二中高三阶段练习）设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，
以下四个结论中正确的命题序号是______.
① ， ；② 是 的极大值点；
③ 是 的极小值点；④ 是 的极小值点
9．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））若函数 的极小值为 5，那么
的值为______.
10．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数 在 上恰有
3个零点.给出下列 4个结论：① ，② 在 上单调递减，③ 在 上恰有 2
个极值点，④函数 在 上最多有 3个零点.其中所有正确结论的序号是______.
11．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数 在区间 上有且仅有
3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.
① 在区间 上有且仅有 3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增.
四、解答题
12．（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知 ，函数 ．
(1)证明 存在唯一极大值点；
(2)若存在 ，使得 对任意 成立，求 的取值范围．
题型二 求已知函数的极值或极值点
一、单选题
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数 ，则函
数 的极小值点的个数为（）
A．2021 B．2022 C．1011 D．1012
二、多选题
2．（2022·山东省青岛第一中学高三期中）函数 在区间 上存在极值点，则整数
的值为（）
A．B．C．D．0
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知函数 ，则（）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．则 的极值点有_______个.
5．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高三期中）已知等比数列 的公比 ，若 ， 是函数
的极值点，则 ______．
四、解答题
6．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)若 ，证明： 存在唯一的极值点.
(2)若 ，求 的取值范围.
7．（安徽省部分学校 2022-2023 学年高三上学期 12 月联考数学试题）已知函数
.
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
8．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数 在 处的切线为 ．
(1)求实数 a的值及函数 的极值；
(2)用 表示不超过实数 t的最大整数，如： ，若 时，
恒成立，求 的最大值．
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