《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案12 导数在研究函数中的应用——极值（解析版）

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复习案 12 导数在研究函数中的应用--极值
【知识回顾】
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x
＝a附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0.则a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小
值.
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x
＝b附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0.则b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大
值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
【重点题型剖析】
题型一 函数极值与极值点的辨析
一、单选题
1．（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（文））已知 没有极值，
则实数 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数与函数极值的关系可知， 或 恒成立，再结合二次函数的性质即
可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 没有极值，所以 或 恒成立，
又因为 开口向上，
所以 恒成立，即 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，则（）
A．B． 的定义域为
C． 有极大值 D． 的值域为
【答案】B
【分析】利用换元法可判断 A选项，利用分母大于等于 0即可判断 B选项，利用函数的单调性即
可判断 CD 选项
【详解】对于 A，令 ，即 ，
所以 可整理得 ，所以 ，故 A错误；
对于 B，要使 有意义，只需 ，故 的定义域为 ，故 B正确；
对于 C，因为 和 在定义域内单调递增，所以 在 内单调递增，
故 没有极大值，故 C错误；
对于 D，由 C可得 ，所以 的值域为 ，故 D错误；
故选：B
3．（2022·山东聊城一中高三阶段练习）函数 的极值点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据导数判断函数 的导函数 ，据此可知函数单调递增无极值点.
【详解】由题意知 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，则函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，由此可知 ，函数 单调递增，所以函数 不存在极值点.
故选：A.
4．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知函数 在区间
恰有 3个极值点，2个零点，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出 ，数形结合得到 ，求出 的取值范围.
【详解】因为 ，当 时， ，
又 区间 上恰有 3个极值点，2个零点，所以 ，
解得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
5．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）若函数 在 恰好存在
两个零点和两个极值点，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用整体代入法可得 ，再根据零点和极值点个数，可知
即可得出结果.
【详解】解：设 ，
对于 的图象要满足题意则需 ，
解得 .
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有且仅有一个极值点，则实数 m的取
值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为 与 的图象在 上只有一个交点，且交点左右
的符号不同，分类讨论 ， 与 三种情况，结合图像即可求得结
果.
【详解】由题可得，函数 的定义域为 ， ，
若函数 有且仅有一个极值点，则 在 上有且仅有一个变号零点，
令 ， ，则问题转化为函数 与 的图象在 上只有一个交点，
且交点左右 的符号不同，
①当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，符合题意；
②当 时，若函数 ， 的图象在 上只有一个交点，则函数 ， 的图象相
切，
作出函数 和 的大致图象，如图 1所示，数形结合可得交点左右 的符号
相同，不符合题意；
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