《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案11 导数在研究函数中的应用——单调性（原卷版）

3.0 cande 2025-05-02 20 4 2.03MB 16 页 3知币
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复习案 11 导数在研究函数中的应用-单调性
【知识回顾】
1.函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数 y＝f(x)在区间(a，b)
上可导
f(x)在(a，b)上单调递增
f(x)在(a，b)上单调递减
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数 f′(x)的零点；
第3步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，由此
得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性.
常用结论：
1.若函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，所以“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单
调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
【重点题型剖析】
题型一 利用导数单调性判断或证明函数单调性
一、单选题
1．（2022·青海·湟川中学一模（理））已知函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 x都
有 ，当 时， ，若 ， ， ，
则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知实数 ，且
，则（）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在 上的函数 是 的导函数，且
成立， ，则 a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
4．（2022·四川南充·一模（理））已知 ， ， ，则（）
A．B．
C．D．
5．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知函数 ，若 ，
， ，则 a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
6．（2022·四川南充·一模（文））设定义 R在上的函数 ，满足任意 ，都有
，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（广东省部分学校 2023 届高三上学期 12 月大联考数学试题）已知定义域为 的函数
，则（）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
8．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知函数 ，下列结论正确的是（）
A．函数 在 上为减函数
B．当 时，
C．若方程 有 2个不相等的解，则 的取值范围为
D． ，
三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，设当 时， ，则 的取值范
围为___________.
10．（2022·山东·高三阶段练习）若存在 ，使得不等式 成立，则实数
的取值范围为__________．
四、解答题
11．（2022·河南·高三期中（理））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证： .
12．（2023 届西南 333 高考备考诊断性联考（一）数学试题）已知
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 对任意 恒成立，求 a的取值范围.
题型二 利用导数单调性求函数单调区间（不含参）
一、单选题
1．（2021·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（理））函数 的单调递减
区间是（）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数 的单调递减区间为
（）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2022·上海浦东新·一模）已知定义在 上的函数
为偶函数，则 的严格递减区间为______.
4．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）函数 的单调减区间为___
_____.
三、解答题
5．（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已如函数 ，函数
，函数 ，记 的最大值为 ， 的最小值为 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求 的值．
6．（2022·山西·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调区间；
(2)设 是 的导函数，函数 ，若 对
恒成立，求 a的取值范围．
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