《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案11 导数在研究函数中的应用——单调性（解析版）

3.0 cande 2025-05-02 4 4 9.99MB 71 页 3知币
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复习案 11 导数在研究函数中的应用-单调性
【知识回顾】
1.函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数 y＝f(x)在区间(a，b)
上可导
f(x)在(a，b)上单调递增
f(x)在(a，b)上单调递减
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数 f′(x)的零点；
第3步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，由此
得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性.
常用结论：
1.若函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，所以“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单
调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
【重点题型剖析】
题型一 利用导数单调性判断或证明函数单调性
一、单选题
1．（2022·青海·湟川中学一模（理））已知函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 x都
有 ，当 时， ，若 ， ， ，
则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数 ，结合条件可得函数 的单调性，再由奇偶性即可判
断 的大小关系，从而得到结果.
【详解】令 ，∵当 时， ，则 ，
所以当 时，函数 单调递减．
因为对于任意的实数 x都有 ，所以 ，即
为偶函数，
所以当 时，函数 单调递增．
又 ， ，
，
又 ，所以 ，即 ，
故选:C．
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知实数 ，且
，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，由此确定正确答案.
【详解】构造函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ， ，即 ，同理 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
因为 在 上单调递减， ，故 ．
因为 ，故 ，即 ，
因为 在 上单调递减， ，故 ，从而 .
故选：D
【点睛】本题的求解巧妙的利用了构造函数法，通过构造函数，利用导数判断出函数的单调性
后，可以将要比较大小的三个数用函数的单调性确定大小关系.
3．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在 上的函数 是 的导函数，且
成立， ，则 a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件可得 ，考虑构造函数 ，结合导数运算公式和
导数与函数的单调性的关系由条件证明函数 在 上的单调递减，再根据函数的单调性比较
函数值的大小即可.
【详解】因为 时， ，
所以 可化为 ，即 ，设
，
则 ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上的单调递减，因为 ，所以
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B.
4．（2022·四川南充·一模（理））已知 ， ， ，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先设 ， ，利用导数得到 在 单调递增，再根据
即可得到 ，设 ，利用导数得到 在 单调递增，得到
，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】设 ， .
则 ，设 ， .
，所以 在 单调递增， .
所以 ，即 在 单调递增，
所以 ，即 ，即 ， .
设 ， ，
所以 在 单调递增， ，即 .
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
故选：A
5．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知函数 ，若 ，
， ，则 a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
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