《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案10 导数的概念与运算（原卷版）

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复习案 10 导数的概念与运算
【知识回顾】
1.导数的概念
(1)如果当 Δx→0 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 y＝f(x)在x＝x0处可
导，并把这个确定的值叫做 y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作 f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)
＝ ＝ .
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当 x变化时，y＝f′(x)就是 x的函数，我们称它为 y＝f(x)
的导函数(简称导数)，记为 f′(x)(或y′)，即 f′(x)＝y′＝
.
2.导数的几何意义
函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的
切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以表示成 x的函数，那么称
这个函数为函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对x的导数
等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
0
lim
x 
常用结论：
1.f′(x0)代表函数 f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f′
(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【重点题型剖析】
题型一 平均变化率
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知函数 ，在区间 内任取两
个实数 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2007·陕西·高考真题（文））某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各
时段内平均增长速度分别为 ，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知函数 ，则该函数在区间 上的平均
变化率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意
相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度 h随时间 t变化的函数为 ，定
义域为 D，设 分别表示 在区间 上的平
均变化率，则（ ）
A．B．C．D．无法确定 的大小关系
5．（2022·浙江·高二期中）函数 在区间 上的平均变化率等于（ ）
A．B．1 C．2 D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知 是 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象
只可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2022·上海市大同中学高二期末）设函数 ，当自变量 由 1变到 1.1 时，函数的平
均变化率是___________.
8．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数 在区间 上的平均变化率为 5，则
______．
9．（2004·湖北·高考真题（理））某日中午 12 时整，甲船自 A处以 的速度向正东行驶，
乙船自 A的正北 处以 的速度向正南行驶，则当日 12 时30 分时两船之距离对时间的变
化率是___________ ．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间 0到 范围内路程的变化情况，下
列说法正确的序号是______．
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