《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案10 导数的概念与运算（解析版）

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复习案 10 导数的概念与运算
【知识回顾】
1.导数的概念
(1)如果当 Δx→0 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 y＝f(x)在x＝x0处可
导，并把这个确定的值叫做 y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作 f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)
＝ ＝ .
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当 x变化时，y＝f′(x)就是 x的函数，我们称它为 y＝f(x)
的导函数(简称导数)，记为 f′(x)(或y′)，即 f′(x)＝y′＝
.
2.导数的几何意义
函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的
切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以表示成 x的函数，那么称
这个函数为函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对x的导数
等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
0
lim
x 
常用结论：
1.f′(x0)代表函数 f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f′
(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【重点题型剖析】
题型一 平均变化率
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知函数 ，在区间 内任取两
个实数 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据式子几何意义，可得出斜率恒大于 1，根据导数的几何意义，可得出
在 内恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为 的几何意义，
表示点 与点 连线斜率，
∵实数 ， 在区间 内，
不等式 恒成立，
∴函数图象上在区间 内任意两点连线的斜率大于 1，
故函数的导数大于 1在 内恒成立，
∴ 在 内恒成立，
由函数的定义域知， ，
所以 在 内恒成立，
由于二次函数 在 上是单调递减函数，
故 ，∴ ，
∴ ．
故选：A.
2．（2007·陕西·高考真题（文））某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各
时段内平均增长速度分别为 ，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题可从变化率与导数的关系进行分析，结合题意，设出未知量，根据各时段平均增长
速度计算即可．
【详解】解：设三个连续时段为 ， ， ，各时段的增长量相等，
设为 ，则 ，
整个时段内的平均增长速度为 .
故选：D．
3．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知函数 ，则该函数在区间 上的平均
变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数 ，
所以该函数在区间 上的平均变化率为
，
故选：A
4．（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意
相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度 h随时间 t变化的函数为 ，定
义域为 D，设 分别表示 在区间 上的平
均变化率，则（ ）
A．B．C．D．无法确定 的大小关系
【答案】A
【分析】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还
要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.
【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度 h的变化率小
于0，所以 在区间 上的平均变化率由大变小，即 ．
故选：A．
5．（2022·浙江·高二期中）函数 在区间 上的平均变化率等于（ ）
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