《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案09 数列求和（原卷版）

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复习案 09 数列求和
【知识回顾】
1.公式法求和
(1)等差数列的前 n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前 n项和公式：Sn＝
2.倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这
个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解.
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n项和
可用错位相减法求解.
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
5.分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
常用结论：
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解.
【重点题型剖析】
题型一 公式法求和
一、解答题
1．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知公差为 2的等差数列 的前 项和为 ，且
满足 .
(1)若 ， ， 成等比数列，求 的值；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和 ， ，
．
(1)证明数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n项和 ．
3．（2022·山东济宁·高三期中）已知数列 ，且满足 ，有 .
(1)求数列 的通项公式 ：
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，试求和： .
4．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）在等差数列 中， ，前 12 项的和
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为以 1为首项，3为公比的等比数列，求数列 前 8项的和.
5．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三期中）已知数列 满足 ， ，
．
(1)证明：数列 为等比数列，求 的通项公式．
(2)若数列 的前 项和为 ，且 恒成立，求实数 的取值范围．
6．（2022·上海宝山·一模）已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)写出 的具体展开式，并求其值.
7．（2022·湖北·襄阳市第一中学高二阶段练习）求解下列问题：
(1)已知等差数列 的前三项分别为 ，求该数列的通项公式；
(2)已知 是等差数列 的前 项和， ，设 为数列 的前 项和，求 ．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知等差数列 的公差为 ，前
项和为 ，现给出下列三个条件：① 成等比数列；② ③ ，请你从这
三个条件中任选两个解答下列问题：
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，其前 项和为 ，若 恒成立，求 的最小值.
9．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习）已知数列 的前 n项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 n项和为 ，求 ．
10．（2021·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））已知等差数列 的首项为 ，且
.
(1)求 的通项公式及其前 项和 ；
(2)求数列 的前 项和 .
11．（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（理））已知数列 中， ，
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