《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案09 数列求和（解析版）

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复习案 09 数列求和

【知识回顾】

1.公式法求和

(1)等差数列的前 n项和公式：Sn＝＝na1＋d.

(2)等比数列的前 n项和公式：Sn＝

2.倒序相加法

如果一个数列{an}的前 n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这

个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n项和

可用错位相减法求解.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

5.分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

常用结论：

1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

2.12＋22＋…＋n2＝.

3.裂项求和常用的三种变形

(1)＝－.

(2)＝.

(3)＝－.

4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解.

【重点题型剖析】

题型一公式法求和

一、解答题

1．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知公差为 2的等差数列的前项和为，且

满足 .

(1)若，，成等比数列，求的值；

(2)设，求数列的前项和 .

【答案】(1)9.

(2) .

【分析】（1）根据题意可求得等差数列的通项公式，再利用条件结合等比中项性质列方程，

即可求得答案.

（2）由（1）的结果求得的表达式，利用分组求和法结合等差数列以及等比数列的前

n项和公式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知数列是公差为 2的等差数列，设公差为 d，则，

又因为，所以即，得，

所以，

又因为，，成等比数列，即，

即，得．

（2）因为，

所以

2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列的前项和，，

．

(1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式；

(2)设，求数列的前 n项和．

【答案】(1)证明见解析,

(2)

【分析】(1)利用与关系,再结合等比数列的定义证明即可,

根据等比数列通项公式计算即可得到 ;

(2)应用等比数列和等差数列前项和公式计算即可.

【详解】（1）因为 ①

当时, ②

① ②可得 ,即得

因为 ,

又因为 ,则,即得

所以是以为首项,以2为公比的等比数列

所以 ,即

（2）由(1)可得

则应用等比数列和等差数列前项和公式

3．（2022·山东济宁·高三期中）已知数列，且满足，有 .

(1)求数列的通项公式：

(2)若，设数列的前项和为，试求和： .

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过和分奇偶求出数列的通项公式即可.

（2）先利用分组求和得到数列的前项和为，然后写出数列的通项公式，根据裂项相消

法即可求和.

【详解】（1）由题设知，且，

易得，所以 .

因为，①

所以，②

① ②得，，

所以数列分别以为首项，公比都是 4的等比数列，

从而，

所以 .

即所求数列的通项公式为所以 .

（2）由（1）及题设得，，

所以

，

所以，

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