《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案08 数列通项（原卷版）

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复习案 08 数列通项
【知识回顾】
1.观察法
根据数列的前几项求通项公式时，常用“观察、归纳、猜想、验证”的思想方法，即先找出各项
相同的部分，再找出不同的部分与序号之间的关系，并用 n表示出来.
2.公式法
（1）等差数列通项公式：
（2）等比数列通项公式：
3.递推公式法：利用 Sn求an的关系即 求通项公式
步骤：
(1)先利用 a1＝S1求出 a1；
(2)用n－1替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当 n≥2 时an的表达
式；
(3)注意检验 n＝1时的表达式是否可以与 n≥2 时的表达式合并．
4.累加法：形如满足 形式的数列，可用累加法求通项公式。
5.累乘法：形如满足 形式的数列，可用累乘法求通项公式。
6.取倒数法：形如 （其中 ， 为非零常数）
7.构造法（待定系数法）
（1）形如：
an+1=pan+q
，构造
an+1+λ=p(an+λ)
（
p≠0,1 , q≠0
）
（2）形如：
an+1=pan+rqn
，
① （
p≠0,1 , q≠0, r≠0
的常数且
p≠q
），利用待定系数法构造新数列，
an+1+λqn+1=p(an+λqn)
，转化为
，得到数列
{an+λqn}
是首项为
a1+λq
，公比为
p
的等比数列
②（
p≠0,1 , q≠0, r≠0
为常数且
p=q
），两边同除以
qn+1
得：
an+1
qn+1−an
qn=r
q
，构造数列
{an
qn}
是首项为
a1
q
，公差为
r
q
的等差数列
（3）形如：
an+1=pan
r
，（
an>0, p >0, r >0r且≠1
）两边同时取对数，再构造新数列.
（4）形如：
an+2=pan+1+qan
，构造成
an+2−an+1=λ(an+1−an)
的形式.
【重点题型剖析】
题型一 观察法求数列通项
一、单选题
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）数列 ，…的一个通项公式可以是
（）
A．B．
C．D．
2．（2022·江西·高三阶段练习（文））数列 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行 1
项，排 ；第二行 2项，从左到右分别排 ， ；第三行 3项，……，依此类推，设数列 的前
n项和为 ，则满足 的最小正整数 n的值为（）
4，
4， ，
4， ， ，
4， ， ， ，
…
A．20 B．21 C．25 D．27
3．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）观察图，点数所成数列的一个通项公式 （）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西·西安市长安区第七中学高二阶段练习）数列 ，…的一个通项公式可能
是（）
A．B．C．D．
5．（2022·广东·广州市第九十七中学高二阶段练习）下列说法正确的是（）
①数列 1，3，5，7与数列 7，3，5，1是同一数列；②数列 0，1，2，3...的一个通项公式为
；
③数列 0，1，0，1…没有通项公式；④数列 是递增数列
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若一数列为 ，1， ， ， ，…，其中 ，则
是这个数列的（）
A．不在此数列中 B．第 337 项C．第 338 项D．第 339 项
7．（2022·河北·邯郸冀南新区育华实验学校高二期中）数列 的一个通项公式为
（）
A．B．
C．D．
8．（2022·江苏省响水中学高二期中）数列 的通项公式可能为（）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知数列 ，则下列说法正确
的是（）
A．此数列的通项公式是 B． 是它的第 17 项
C．此数列的通项公式是 D． 是它的第 18 项
10．（2022·河南·高二阶段练习）以下为正奇数从小到大依次排成的数阵：
1
35
7911
13151719
……
第n行有 n个数，则（）
A．该数阵第 n行第一个数为
B．该数阵第 n行最后一个数为
C．该数阵第 n行所有数的和为
D．若数阵前 n行总和不大于 2023，则 n的最大值为 9
三、填空题
11．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）数列 1，2， ， ， ，…，则 是这个数列的
第______项．
12．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习） ， ， ， ， ， 的一个通项公式是_________
_．
13．（2022·上海·位育中学高二期末）数列 1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为 =_____
四、解答题
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