《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案08 数列通项（解析版）

3.0 cande 2025-05-02 17 4 7.71MB 68 页 3知币
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复习案 08 数列通项
【知识回顾】
1.观察法
根据数列的前几项求通项公式时，常用“观察、归纳、猜想、验证”的思想方法，即先找出各项
相同的部分，再找出不同的部分与序号之间的关系，并用 n表示出来.
2.公式法
（1）等差数列通项公式：
（2）等比数列通项公式：
3.递推公式法：利用 Sn求an的关系即 求通项公式
步骤：
(1)先利用 a1＝S1求出 a1；
(2)用n－1替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当 n≥2 时an的表达
式；
(3)注意检验 n＝1时的表达式是否可以与 n≥2 时的表达式合并．
4.累加法：形如满足 形式的数列，可用累加法求通项公式。
5.累乘法：形如满足 形式的数列，可用累乘法求通项公式。
6.取倒数法：形如 （其中 ， 为非零常数）
7.构造法（待定系数法）
（1）形如：
an+1=pan+q
，构造
an+1+λ=p(an+λ)
（
p≠0,1 , q≠0
）
（2）形如：
an+1=pan+rqn
，
① （
p≠0,1 , q≠0, r≠0
的常数且
p≠q
），利用待定系数法构造新数列，
an+1+λqn+1=p(an+λqn)
，转化为
，得到数列
{an+λqn}
是首项为
a1+λq
，公比为
p
的等比数列
②（
p≠0,1 , q≠0, r≠0
为常数且
p=q
），两边同除以
qn+1
得：
an+1
qn+1−an
qn=r
q
，构造数列
{an
qn}
是首项为
a1
q
，公差为
r
q
的等差数列
（3）形如：
an+1=pan
r
，（
an>0, p >0, r >0r且≠1
）两边同时取对数，再构造新数列.
（4）形如：
an+2=pan+1+qan
，构造成
an+2−an+1=λ(an+1−an)
的形式.
【重点题型剖析】
题型一 观察法求数列通项
一、单选题
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）数列 ，…的一个通项公式可以是
（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【详解】选项 A： ，不符合题意；
选项 C： 不符合题意；
选项 D： ，不符合题意；
而选项 B满足数列 ，
故选：B
2．（2022·江西·高三阶段练习（文））数列 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行 1
项，排 ；第二行 2项，从左到右分别排 ， ；第三行 3项，……，依此类推，设数列 的前
n项和为 ，则满足 的最小正整数 n的值为（）
4，
4， ，
4， ， ，
4， ， ， ，
…
A．20 B．21 C．25 D．27
【答案】B
【分析】分析每一行的和的规律，找出通向公式，计算到某行的所有结果与 2000 进行比较分析即
可得结论.
【详解】第一行：只有 4，其和也为 4，则和为：
；
第二行：以 4为首项，公比为 3的等比数列，共 2项，则和为：
；
第三行：以 4为首项，公比为 3的等比数列，共 3项，则和为：
；
依此类推：
第 行：以 4为首项，公比为 3的等比数列，共 项，则和为：
则前 6行共有 个数，
前6行21 个数的和为：
满足 ，
而第 6行的第 6个数为
则 ，
故满足 的最小正整数 的值为 21；
故选：B.
3．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）观察图，点数所成数列的一个通项公式 （）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察为平方数数列.
【详解】由题意，依次点数为 1、4、9、16，为完全平方数，故 .
故选：B.
4．（2022·陕西·西安市长安区第七中学高二阶段练习）数列 ，…的一个通项公式可能
是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将每项的绝对值写成以 为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案.
【详解】解：因为 ， ， ，
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