《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案07 等比数列（解析版）

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复习案 07 等比数列

【知识回顾】

1.等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列

叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然 q≠0).

数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)等比中项：如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比

中项.此时 G2＝ab.

2.等比数列的通项公式及前 n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前 n项和公式：当 q＝1时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前 n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有 ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm.

(3)当q≠－1，或 q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 qn.

常用结论：

1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比

数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.

3.在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q＝1与q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1这一特

殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.

【重点题型剖析】

题型一等比数列及其通项公式

一、单选题

1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知数列满足：对任意的 m，，都有

，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】通过赋值分析可得数列是以首项为，公比为的等比数列，根据题意结合等比数列

通项公式运算求解.

【详解】对于，

令，则，

再令，则，可知，

故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，

∴.

故选：C.

2．（2022·福建省永春第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列

是（）

A．以 1为首项，为公比的等比数列 B．以 3为首项，为公比的等比数列

C．以 1为首项，3为公比的等比数列 D．以 3为首项，3为公比的等比数列

【答案】A

【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.

【详解】因为，，所以数列是以 1为首项，为公比的等比数列.

故选：A

3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）数列的前项和，则“ ”是“数列

为等比数列”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由可得：，结合等比数列定义即可得到结果.

【详解】∵ ，

当n≥2 时，an＝Sn Sn 1﹣ ﹣ ＝，

∴ ，

∴当 n≥2 时，数列为等比数列，

要使数列为等比数列，则

即，∴ ；

反之，显然，

∴数列为等比数列，

∴“ ”是“数列为等比数列”的充要条件

故选：C.

4．（2022·上海金山·一模）已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】对于 ABC，举反例排除即可；对于 D，利用三角函数的基本关系式即可判断.

【详解】对于 A，令，则，

所以，即，故 A错误；

对于 B，令，则，即，故 B错误；

对于 C，令，则，

所以，即，故 C错误；

对于 D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，

所以，即，则，

所以一定成等比数列，故 D正确.

故选：D.

5．（2022·安徽·六安二中高三阶段练习）若成等差数列；成等比数列，则

等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出 .

【详解】由题意得：，

设的公比为，则，，

解得：，

故选：B

6．（2022·山西·高三阶段练习）已知等比数列的前 n项和为，若，则公比

（）

A．3 B．2 C．4 D．－3

【答案】A

【分析】分别讨论，，结合公式法求和即可求值

【详解】当时，，．因为，所以不满足．

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