《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案06 等差数列（原卷版）

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复习案 06 等差数列

【知识回顾】

一、数列

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

项数有穷数列项数有限

无穷数列项数无限

项与项

间的大

小关系

递增数列 an＋1＞an

其中

n∈N*

递减数列 an＋1＜an

常数列 an＋1＝an

摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有

些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

4.数列的通项公式

如果数列{an}的第 n项an与它的序号 n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的通项公式.

5.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列

的递推公式.

常用结论：

1.若数列{an}的前 n项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝

2.在数列{an}中，若 an最大，则若 an最小，则

二、等差数列

1.等差数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列

就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：由三个数 a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时 A叫做 a与b

的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.

2.等差数列的通项公式与前 n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前 n项和，则数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前 n项和，则数列也为等差数列.

常用结论：

1.已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当 d＞0时，{an}是递增数列；当 d＜0时，{an}是递减数列；当 d＝0

时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

【重点题型剖析】

题型一等差数列及其通项公式

一、单选题

1．（2021·安徽·定远县育才学校高二期末（文））等差数列中，已知，，则公差

d（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·安徽·石室中学高三阶段练习）如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中

的线段，，，都是竖直放置的，线段，，，都是水平放置的，且

.令，，，若，，成公差为 0.15 的等差数

列，且直线的斜率分别为 0.75，0.45，则（）

A．0.595 B．2.55 C．1.6 D．0.7225

3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知为递増等差数列，等比数列以为前两项

且公比为 3，若，则（）

A．13 B．41 C．57 D．86

4．（2022·广西广西·高三阶段练习（文））已知数列满足：，当时，

，则数列的通项公式是（）

A．B．C．D．

5．（2022·河北·邯郸市永年区第二中学高二阶段练习）已知等差数列满足

，则有（）

A．B．

C．D．

6．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知在等比数列中，，等

差数列的前项和为，且，则（）

A．96 B．102 C．118 D．126

7．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）等差数列的前项和为，若，则

（）

A．2020 B．1525 C．1515 D．2015

二、填空题

8．（上海市奉贤区 2023 届高三上学期一模数学试题）已知等差数列中，

，则的值等于__________.

9．（2022·广东·高二阶段练习）已知是等差数列的前 n项和，且，，则

的公差 ______.

10．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且

，则的最小值为__________.

11．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（文））正项等差数列的前项和为，若，

则的最大值为________．

12．（2022·安徽·六安二中高三阶段练习）在中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且

，，成等差数列，若，则的面积最大值为______．

三、解答题

13．（2022·湖北·襄阳市第一中学高二阶段练习）求解下列问题：

(1)已知等差数列的前三项分别为，求该数列的通项公式；

(2)已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，求．

14．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列满足

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