《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案05 抛物线（解析版）

3.0 cande 2025-05-02 13 4 10.36MB 73 页 3知币
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复习案 05 抛物线
【知识回顾】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛
物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点 M到准线 l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
性
质
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方
程x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方
向向右 向左 向上 向下
常用结论：
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
【重点题型剖析】
题型一 抛物线的定义
一、单选题
1．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一
动点 ， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线 的方程为 ，过 作 于 ，根据抛物线的定义可知 ，
则当 三点共线时，可求 得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线 ： 的焦点为 ，准线 的方程为 ，
如图，过 作 于 ，
由抛物线的定义可知 ，所以
则当 三点共线时， 最小为 .
所以 的最小值为 .
故选：C.
2．（2022·广东·高二阶段练习）图 1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一
部分，已知该卫星接收天线的口径 ，深度 ，信号处理中心 位于焦点处，以顶点 为
坐标原点，建立如图 2所示的平面直角坐标系 ，若 是该拋物线上一点，点 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由已知点 在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求
的最小值.
【详解】设抛物线的方程为 ，因为 ， ，所以点 在抛物线上，
所以 ，故 ，所以抛物线的方程为 ，所以抛物线的焦点 的坐标为 ，准线方
程为 ，在方程 中取 可得 ，所以点 在抛物线内，过点 作 与准
线垂直， 为垂足，点 作 与准线垂直， 为垂足，则 ，所以
，当且仅当直线 与准线垂直时等号成立，所以
的最小值为 3，
故选：B.
3．（2022·河南·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为 F，N为C上一点，且 N在第一象
限，直线 与 C的准线交于点 M，过点 M且与 x轴平行的直线与 C交于点 P，若 ，则
直线 的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．D．
【答案】D
【分析】过 N作准线的垂线，垂足为 Q，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰三
角形的性质可得 ，通过直线的倾斜角为 即可得结果.
【详解】如图，过 N作准线的垂线，垂足为 Q，则 ．
又因为 ，所以 ．
因为 ，即
所以 ，即 ．
直线 的斜率为 ．
故选：D.
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