《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案04 双曲线(原卷版）

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复习案 04 双曲线
【知识回顾】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个
定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|
MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合 P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合 P为两条射线；
(3)若a>c，则集合 P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e(1∈，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫
做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
常用结论：
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率 e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为 y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2
的面积为.
【重点题型剖析】
题型一 双曲线的定义
一、单选题
1．双曲线 的两个焦点分别是 ，双曲线上一点 到 的距离是 12，则 到 的距离
是（）
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
2．双曲线 的一条渐近线方程为 分别为该双曲线的左右焦点， 为双
曲线上的一点，则 的最小值为（）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 是线段 上点，
若 ，则当 面积最大时，双曲线 的方程是（）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线 上一点 P到焦点 的距离为 9，则它到另一个焦点 的距离为（）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
5．已知点 P是双曲线 C： 上的动点， ， 分别是双曲线 C的左、右焦点，O为坐标原
点，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两
点， 的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（）
A．B．C．D．
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其一条渐近线为 ，
直 线 过点 且与双曲线 的右支交于 两点， 分别为 和 的内 心 ，则
的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、多选题
8．下列结论判断正确的是（）
A．平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程 （ ， ， ）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点 ， 距离之差等于 的点的轨迹是双曲线
D．双曲线 与 （ ， ）的离心率分别是 ， ，则
9．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）
A．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
B．过双曲线 的右焦点且被双曲线截得的弦长为 10 的直线共有 2条
C．设 A，B是两个定点，k是非零常数，若 ，则动点 P的轨迹是双曲线的一支
D．动圆 P过定点 且与定直线 l： 相切，则圆心 P的轨迹方程是
10．如图，P是椭圆 与双曲线 在第一象限的
交点，且 共焦点 的离心率分别为 ，则下列结论不正确的是
（）
A．B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为 2 D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 P在双曲线上，则下列结论正确的是
（）
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若 ，则 的面积为 9
D．点 P到两渐近线的距离乘积为
12．已知两点 ，若直线上存在点 P，使 ，则称该直线为“B型直
线”．下列直线中为“B型直线”的是（）
A．B．C．D．
13．下列说法正确的是（）
A．抛物线 的准线方程是
B．若方程 表示椭圆，则实数 k的取值范围是
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