《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案04 双曲线(解析版）

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复习案 04 双曲线
【知识回顾】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个
定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|
MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合 P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合 P为两条射线；
(3)若a>c，则集合 P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e(1∈，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫
做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
常用结论：
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率 e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为 y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2
的面积为.
【重点题型剖析】
题型一 双曲线的定义
一、单选题
1．双曲线 的两个焦点分别是 ，双曲线上一点 到 的距离是 12，则 到 的距离
是（）
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
【答案】D
【分析】讨论 点位置，结合 求 .
【详解】当 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得 ，
解得 ，
当 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得 ，
解得 ，
因为 ，所以 满足题意.
所以 或 ，
故选:D.
2．双曲线 的一条渐近线方程为 分别为该双曲线的左右焦点， 为双
曲线上的一点，则 的最小值为（）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程求得 ，结合双曲线的定义求得 ，再结合基本不等式和函
数的单调性求得 的最小值.
【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ， ，
当 在双曲线的左支时， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
当 在双曲线的右支时， ，
所以 （其中 ），
对于函数 ，
，
任取 ，
，
由于 ，
所以 ，
所以 在 上递增，所以 .
所以 的最小值为 .
综上所述， 的最小值为 .
故选：B
3．已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 是线段 上点，
若 ，则当 面积最大时，双曲线 的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在 和 分别利用余弦定理得 ，再在 利用余弦定
理，消去 ，根据均值不等式求 面积最大时 的关系，结合双曲线的性质即可求解.
【详解】如图所示
设 ， ， ， ，则 ， ，
在 中由余弦定理得 ①，
在 中由余弦定理得 ②，
得 ③，
在 中由余弦定理得 ④，
③④联立消去 得 ，
因为 ，当 面积最大时即 最大，
由均值不等式可得 ，
当且仅当 即 时等号成立， 取得最大值，
此时由④ 解得 ，所以 ，
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