《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案03 椭圆（原卷版）

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复习案 03 椭圆
【知识回顾】
一 、椭圆
1.椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合 P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合 P为线段；
(3)若a＜c，则集合 P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－
b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－
b，0)，B2(b，0)
轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
常用结论：
1.若点 P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|
PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点 P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.
4.AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则直线 AB 的斜率 kAB＝－.
【重点题型剖析】
题型一 椭圆的定义
一、单选题
1．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，则
的周长为（ ）
A．8 B．C．D．与 有关
2．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 P为椭圆上一点，以 为圆心的圆与直线
恰好相切于点 P，则 |=（ ）
A．B．2 C．D．
3．已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若 是直角三角形，则
的面积等于（ ）
A．B．C．16 D． 或 16
5．点 为椭圆 上一点， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
6．椭圆 上一点 P与焦点 的距离为 5，则点 P与另一个焦点 的距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知点 P是椭圆 C： 上一点，点 、 是椭圆 C的左、右焦点，若
的内切圆半径的最大值为 ，若椭圆的长轴长为 4，则 的面积的最大值为
（ ）
A．2 B．2 C．D．
8．若 是椭圆 上动点，则 到该椭圆两焦点距离之和是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆 的左 右焦点分别为､，点 为椭圆 的一个动点，点 ，则下
列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B． 的面积最大值为
C．点 到直线 距离的最大值为
D． 的最大值为 7
10．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，直线 与椭圆交
于 两点， 分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线 的斜率为 ，直线 的斜率 ，则
B．若有且仅有两个不同的实数 使得 为等腰直角三角形，则
C． 取值范围为
D． 周长的最大值为 8
11．已知椭圆 分别为它的左右焦点，点 是椭圆上一个动点，下列结论中正确
的有（ ）
A．点 到右焦点的距离的最大值为 9
B．焦距为
C．点 到原点的距离的最大值为 5
D．椭圆的离心率为
12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆
的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 是它的焦点，长轴长为 4，焦距为 2，
静放在点 A的小球（小球的半径不计），从点 A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A
时，小球经过的路程可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．离心率
B．过点 的直线与椭圆交于 ， 两点，则 的周长为
C．若 是椭圆 上的一点，则 面积的最大值为 2
D．若 是椭圆 上的一点，且 ，则 面积为
三、填空题
14．已知焦点为 ， 的椭圆的方程为 ，且 ，过椭圆左焦点 的直
线交椭圆于 两点，则 的周长为________.
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