《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案03 椭圆（解析版）

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复习案 03 椭圆

【知识回顾】

一、椭圆

1.椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭

圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合 P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合 P为线段；

(3)若a＜c，则集合 P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)

图形

性

质

范围－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－

b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－

b，0)，B2(b，0)

轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝∈(0，1)

a，b，c的关系 c2＝a2－b2

常用结论：

1.若点 P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则

(1)b≤|OP|≤a；

(2)a－c≤|PF|≤a＋c.

2.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|

PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：

(1)当r1＝r2时，即点 P的位置为短轴端点时，θ最大；

(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.

3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.

4.AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则直线 AB 的斜率 kAB＝－.

【重点题型剖析】

题型一椭圆的定义

一、单选题

1．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则

的周长为（）

A．8 B．C．D．与有关

【答案】C

【分析】根据椭圆：可求得 a，由椭圆的定义可得，

，并且，进而即可求得的周长．

【详解】由椭圆：，则，即，

又椭圆的定义可得，，且

，

所以的周长为

．

故选：C．

2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点 P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线

恰好相切于点 P，则 |=（）

A．B．2 C．D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义，设，得，结合圆的几何性质列方程，从而求得

，然后求得 .

【详解】依题意，

设，由椭圆定义得，

由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点 P，

所以，即，

整理得，得，得，所以．

故选：A

3．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围

求得范围即可.

【详解】设，，则，

，又，所以当时，

，当时， .

故选：C.

4．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则

的面积等于（）

A．B．C．16 D．或 16

【答案】D

【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.

【详解】依题意，，不妨设，

对于直角三角形，

若，

由，整理得 ,

所以 .

若或为直角，

由得，

所以 .

所以，的面积等于或 16.

故选：D

5．点为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（）

A．13 B．1 C．7 D．5

【答案】D

【分析】由椭圆方程求得，再由椭圆定义可得．

【详解】由已知，．

故选：D．

6．椭圆上一点 P与焦点的距离为 5，则点 P与另一个焦点的距离为（）

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