《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案02 圆与方程（解析版）

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复习案 02 圆与方程

【知识回顾】

一、圆的方程

1.圆的定义和圆的方程

2. 点

与圆

的位

置关

系

平面

上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

常用结论:

1.圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程为 x2＋y2＝r2.

2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

二、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆心 C(a，b)到直线 l的距离为 d，由消去

y(或x)，

得到关于 x(或y)的一元二次方程，其判别式为 Δ.

位置关系相离相切相交

图形

量化方程观点 Δ<0 Δ＝0Δ>0

几何观点 d>r d＝r d<r

2.圆与圆的位置关系

已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，

则圆心距 d＝|C1C2|＝.

则两圆 C1，C2有以下位置关系：

定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合

方

程

标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心 C(a，b)

半径为 r

一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F＞0)

充要条件：D2＋E2－4F＞0

圆心坐标：

半径 r＝

位置关系外离内含相交内切外切

圆心距

与半径

的关系

d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋

d＝|r1－r2|d＝r1＋r2

图示

公切线条数 40213

常用结论：

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆 x2＋y2＝r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.

2.直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：运用弦心距 d、半径 r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.

(2)代数法：设直线 y＝kx＋m与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方

程中，消去 y，得关于 x的一元二次方程，求出 xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.

【重点题型剖析】

题型一求圆的方程

一、单选题

1．圆心为且和轴相切的圆的方程是（　）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】根据已知条件可求出，即可得到圆的方程.

【详解】由已知可得，圆心到轴的距离，

因为轴与圆相切，所以 .

所以，圆的方程为 .

故选：A.

2．已知 O为坐标原点，，则以为直径的圆方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒

【详解】由题知圆心为，

半径，

∴圆的方程为 ﹒

故选：B﹒

3．如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与

相切的圆上，则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先推导出，然后以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出圆

的方程，设出点点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最小值．

【详解】由题意，由余弦定理可得，

则，所以，

以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如下图所示，

则，，，

，则直线的方程为，即，

所以圆半径为，圆的方程为，

设，

，，

所以，其中且为锐角，

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