《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案01 直线与方程（解析版）

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复习案 01 直线与方程
【知识回顾】
一、直线的倾斜角、斜率与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l与x轴相交时，我们以 x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角 α
叫做直线 l的倾斜角；
(2)规定：当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°；
(3)范围：直线的倾斜角 α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即
k＝tanα.
(2)计算公式
①经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 k＝.
②设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2)是直线 l上的两点，则向量P1P2＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平
行的向量都是直线的方向向量.若直线 l的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 k＝.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直
线
截距式 纵、横截距 ＋＝1不过原点且与两坐标轴均
不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
常用结论：
1.直线的倾斜角 α和斜率 k之间的对应关系：
α0 0<α< <α<π
k0k>0 不存在 k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
二、直线的位置关系、交点坐标与距离公式
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线 l1，l2的斜率
都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线 l1，l2斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条
直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线 l1的方程 A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线 l2的方程 A2x＋B2y＋C2＝0，即点 P
的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线 l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线 l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点 P(x0，y0)关于直线 y＝kx＋b的对称点为 P′(x′，y′)，则有可求出 x′，y′.
常用结论：
1.“直线 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两
直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
【重点题型剖析】
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．已知直线 和 互相平行，则实数 m的取值为（　
　）
A．﹣1或3 B．-3 或﹣1 C．﹣1 D．3
【答案】C
【分析】根据两条直线平行求解即可.
【详解】当 时， 不存在， ， 不平行.
当 时， ， ，
因为 平行，所以 ，解得 或 .
当 时， ， ， 重合，舍去.
当 时， ， ， .
综上 .
故选：C
2．经过 ， 两点的直线的倾斜角为（»»»»）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用倾斜角与斜率关系即可求解.
【详解】因为直线经过 ， ，则直线斜率为 ，设倾斜角为 ，
则 ，此时 .
故选：D
3．已知双曲线 C： 的一条渐近线与直线 l： 垂直，则双
曲线 C的离心率为（»»»»）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先由两直线垂直得到渐近线斜率 ，则根据 ，即得离心率的值.
【详解】与直线 l： 垂直的双曲线 C： 的渐近线方程为 ，
故 ，则双曲线的离心率 ．
故选:．
4．下列说法正确的是(!!!!)
A．若直线的斜率为 ，则该直线的倾斜角为
B．直线的倾斜角 的取值范围是
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【答案】B
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可．
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