《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》专题4-2 数列前n项和的求法（解析版）

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专题 数列前 n项和的求法
题型 1 裂项相消法......................................................................................................................................................2
◆类型 1 形如
1
n(n+k)=1
k(1
n−1
n+k)
型0k..................................................................................................3
考点 1 保留 2 项型................................................................................................................................... 3
考点 2 保留 4 项型................................................................................................................................... 5
◆类型 2 形如
1
❑
√
n+❑
√
n+k=1
k（❑
√
n+k −❑
√
n）
型........................................................................................7
题型 2 错位相减法......................................................................................................................................................7
题型 3 分组转化求和法............................................................................................................................................11
题型 4 并项求和法....................................................................................................................................................14
◆类型 1 含有
（−1）n
型................................................................................................................................14
◆类型 2 不含
（−1）n
型................................................................................................................................17
考点 1 两项并在一起型......................................................................................................................... 17
考点 2 前后相消型................................................................................................................................. 17
考点 3 分段函数型................................................................................................................................. 19
题型 5 倒序相加法....................................................................................................................................................24
知识点一.公式法求和
公式法求和中的常用公式有:
(1)等差、等比数列的前 n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中 q为公比．
(2)四类特殊数列的前 n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
知识点二.分组转化法求和
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和
公式分别求和，从而得出原数列的和．
知识点三.倒序相加法求和
(1)倒序相加法类比推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把
它与原数列相加，就可以得到 n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
知识点四.裂项相消法求和
(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用
待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
知识点五.错位相减法求和
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n项和时，可采用错位相减法求和，
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表
达式．
知识点六.并项求和法求和
通项中含有(－1)n的数列求前 n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
题型 1 裂项相消法
【方法总结】用裂项相消法求和：
（1）＝(－)，
（2）＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项．
（3）(抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．.
◆类型 1 形如
1
n(n+k)=1
k(1
n−1
n+k)
型0k
考点 1 保留 2 项型
【例题 1-1】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的通项公式为
an=1
n
(
n+1
)
（
），数列的前 2022 项和为（ ）
A．
2019
2020
B．
2022
2023
C．
2020
2021
D．
2021
2022
【答案】B
【分析】利用裂项相消法求和.
【详解】
an=1
n
(
n+1
)
=1
n−1
n+1
，
则数列的前 2022 项和为
S2022 =1− 1
2+1
2−1
3+ +⋯1
2022 −1
2023 =1− 1
2023 =2022
2023
.
故选：B
【变式 1-1】1.（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=( n−1)2−1
．
(1)求
{
an
)
的通项公式.
(2)若数列
bn=1
anan+1
，求数列
{
bn
)
前
n
项和
Tn
.
【答案】(1)
an=2 n−3(nN∈)
❑
*
(2)
Tn=− n
2n−1
【分析】（1）根据
an=
{
S1,n=1
Sn−Sn−1 ,n≥2
)
作差即可得解；
（2）由（1）可得
bn=1
2
(
1
2n−3 −1
2n−1
)
，利用裂项相消法计算可得；
（1）解：数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=( n−1)2+1
，当
n≥2
时，
Sn−1 = ( n−2)2+1=n2−4 n+5
，
所以
Sn−Sn−1 =2 n−3
，即
an=2 n−3(n≥2)
，当
n=1
时，
a1=S1= (1−1)2−1=−1
符合上式，
所以
an=2 n−3(nN∈)
❑
*
；
（2）解 ： 由 （ 1） 可 得
bn=1
anan+1
=1
(
2n−3
) (
2n−1
)
=1
2
(
1
2n−3 −1
2n−1
)
，
Tn=1
a1a2
+1
a2a3
+1
a3a4
+ +⋯1
anan+1
=
1
2
(
−1−1
)
+1
2
(
1− 1
3
)
+ +⋯1
2
(
1
2n−3 −1
2n−1
)
=1
2
(
−1−1+1−1
3+ +⋯1
2n−3 −1
2n−1
)
=1
2
(
−1− 1
2n−1
)
=− n
2n−1
.
【变式 1-1】2．（广东省湛江市 2023 届高三上学期调研测试数学试题）设数列
{
an
)
的前 n项和为
Sn
，已
知
a1=−3,
{
2Sn
n
)
是公差为 2的等差数列．
(1)求
{
an
)
的通项公式；
(2)设
bn=1
anan+1
，求数列
{
bn
)
前n项和
Tn
．
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