《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》专题4-1 数列通项公式的求法（原卷版）

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专题 数列通项公式的求法
题型 1 由 与 的关系求数列的通项公式...........................................................................................................1
◆类型 1 直接型....................................................................................................................................................1
◆类型 2 等比型....................................................................................................................................................3
题型 2 累加法..............................................................................................................................................................4
◆类型 1 等差型....................................................................................................................................................5
◆类型 2 等比型....................................................................................................................................................5
◆类型 3 分式型....................................................................................................................................................6
题型 3 累乘法..............................................................................................................................................................8
◆类型 1 分式型....................................................................................................................................................8
◆类型 2 指数型..................................................................................................................................................10
题型 4 待定系数法....................................................................................................................................................10
题型 5 因式分解型....................................................................................................................................................12
题型 6 需要同除型....................................................................................................................................................14
◆类型 1 直接除..................................................................................................................................................14
◆类型 2 含有指数型..........................................................................................................................................17
◆类型 3 转化成 Sn型.........................................................................................................................................19
题型 7 取倒数型........................................................................................................................................................22
题型 8 含有和型........................................................................................................................................................24
题型 9 含有周期型....................................................................................................................................................26
题型 1 由 与 的关系求数列的通项公式
【方法总结】若数列{an}的前 n项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝
◆类型 1 直接型
【例题 1-1】已知下列数列{an}的前 n项和 Sn，求{an}的通项公式．Sn＝2n2－3n；
【变式 1-1】1.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）若
Sn
是数列
{
an
)
的前 n项的和，
Sn=n2
，
则
a5+a6+a7=
__________；
【变式 1-1】2.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=2n2−2n+3
，则数
列
{
an
)
的通项公式
_________.
【变式 1-1】3．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=( n−1)2−1
．
求
{
an
)
的通项公式.
【 变 式 1-1 】4． （ 2022· 江 西 ·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列
{
an
)
的 前 n项 和
Sn=4n+1
3−4
3(n∈N∗)
.(1)求数列
{
an
)
的通项公式；
【变式 1-1】5.已知 为数列 的前 项和，且 ，则 ．
◆类型 2 等比型
【 例 题 1-2 】（2022· 重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知数列
{
an
)
的 前
n
项 和
Sn
满足：
2Sn=3
(
an−1
)
,n ∈N+¿¿
.求
{
an
)
的通项公式；
【变式 1-2】1.已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝2an－1(n∈N*)，则 a5等于(　　)
A．－16 B．16
C．31 D．32
【变式 1-2】2.（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=2
3an+1
3
(
n∈N*
)
，
则数列
{
an
)
的通项公式是
an=¿
___________.
【变式 1-2】3．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知各项均不为零的数列
{an}
的前 n项的和为
Sn
，且
满足
a1=4
，
Sn+1=4Sn+4(n∈N∗)
．求数列
{an}
的通项公式；
题型 2 累加法
【方法总结】累加法：若已知 且 的形式；
◆类型 1 等差型
【例题 2-1】（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列
{
an
)
满足
a1=0
，
an+1 =an+n
，则
a8=
（
）
A．
27
B．
28
C．
29
D．
30
【变式 2-1】1.（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）在数列
{
an
)
中，
a1=1
，
an+1− an=2n
，
则数列
an=¿
______．
¿1+2×n
(
n− 1
)
2=n2− n+1
，故答案为：
n2−n+1
【变式 2-1】2.根据条件，确定数列{an}的通项公式．a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；
◆类型 2 等比型
【例题 2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）数列
{
an
)
满足
a1=2，an−an −1=1
2n
，则
an=
_____．
【变式 2-2】1.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）若
a1=1
，
an+1 −an= 2n−n
，
n∈N*
，则
an=
_____
____．
【变式 2-2】2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知数列
{
an
)
满足
a1=3
，
an+1− an=3×2n −1
，则
an=¿
___________.
◆类型 3 分式型
【例题 2-3】（2022·全国·高三专题练习）数列
{
an
)
中，
a1=1,an+1=an+1
n2+n
，则
a5=¿
__________.
【变式 2-3】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
{
an
)
满足
an+1
n+1−an
n=1
n
(
n+1
)
(
n∈N*
)
，且
a1=1
，
求数列
{
an
)
的通项公式；
【变式 2-3】2．（2022·河南·高三开学考试（理））在数列
{
an
)
，
{
bn
)
中，
b1=2a1=2
，
b3+b4=24
，
an+1=an+bn+1
n2+n
且
{
bn
)
为正项等比数列．求
bn
的通项公式；
题型 3 累乘法
【方法总结】累乘法：
若已知 且 的形式；
◆类型 1 分式型
【例题 3-1】（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
满足
an+1
an
=n
n+2
，
a1=1
，
则数列
{
an
)
的通项公式是（ ）
A．
an=2
n(n+1)
B．
an=1
n(n+1)
C．
an=1
n
D．
an=n+1
2
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