《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》专题4-1 数列通项公式的求法（解析版）

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专题 数列通项公式的求法
题型 1 由 与 的关系求数列的通项公式...........................................................................................................1
◆类型 1 直接型....................................................................................................................................................1
◆类型 2 等比型....................................................................................................................................................3
题型 2 累加法..............................................................................................................................................................4
◆类型 1 等差型....................................................................................................................................................5
◆类型 2 等比型....................................................................................................................................................5
◆类型 3 分式型....................................................................................................................................................6
题型 3 累乘法..............................................................................................................................................................8
◆类型 1 分式型....................................................................................................................................................8
◆类型 2 指数型..................................................................................................................................................10
题型 4 待定系数法....................................................................................................................................................10
题型 5 因式分解型....................................................................................................................................................12
题型 6 需要同除型....................................................................................................................................................14
◆类型 1 直接除..................................................................................................................................................14
◆类型 2 含有指数型..........................................................................................................................................17
◆类型 3 转化成 Sn型.........................................................................................................................................19
题型 7 取倒数型........................................................................................................................................................22
题型 8 含有和型........................................................................................................................................................24
题型 9 含有周期型....................................................................................................................................................26
题型 1 由 与 的关系求数列的通项公式
【方法总结】若数列{an}的前 n项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝
◆类型 1 直接型
【例题 1-1】已知下列数列{an}的前 n项和 Sn，求{an}的通项公式．Sn＝2n2－3n；
【解析】a1＝S1＝2－3＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－
5，
由于 a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
【变式 1-1】1.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）若
Sn
是数列
{
an
)
的前 n项的和，
Sn=n2
，
则
a5+a6+a7=
__________；
【答案】33
【分析】根据
Sn
与
an
的关系即得．
【详解】因为
，所以
a5+a6+a7=
S7−S4=72− 42=33
．故答案为：33．
【变式 1-1】2.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=2n2−2n+3
，则数
列
{
an
)
的通项公式
an=¿
_________.
【答案】
{
3, n=1
4n− 4,n ≥ 2
)
【分析】由
Sn=2n2−2n+3
先求得
a1
，再根据
an=Sn− Sn −1(n≥ 2)
求得
an
的表达式，验证首项，即可得答
案.
【详解】
∵Sn=2n2−2n+3
,故当
n=1
时，
a1=S1=3
；
当
n ≥ 2
时，
Sn −1=2
(
n− 1
)
2−2
(
n −1
)
+2
，
∴an=Sn− Sn −1=4n − 4
∵a1=S1=3
不适合上式，
∴an=
{
3, n=1
4n −4, n≥ 2
)
，故答案为：
{
3, n=1
4n− 4,n ≥ 2
)
.
【变式 1-1】3．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=( n−1)2−1
．
求
{
an
)
的通项公式.
【答案】
an=2 n−3(nN∈)
❑
*
【分析】根据
an=
{
S1,n=1
Sn−Sn−1 ,n≥2
)
作差即可得解；
【解析】数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=( n−1)2+1
，
当
n≥2
时，
Sn−1 = ( n−2)2+1=n2−4 n+5
，所以
Sn−Sn−1 =2 n−3
，即
an=2 n−3(n≥2)
，
当
n=1
时，
a1=S1= (1−1)2−1=−1
符合上式，所以
an=2 n−3(nN∈)
❑
*
；
【 变 式 1-1 】4． （ 2022· 江 西 ·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列
{
an
)
的 前 n项 和
Sn=4n+1
3−4
3(n∈N∗)
.(1)求数列
{
an
)
的通项公式；
【答案】
an=4n(n∈N∗)
；
【分析】利用
an=
{
S1,n=1
Sn− Sn −1, n≥ 2
)
，即可得
{
an
)
的通项公式；
【解析】因为
Sn=4n+1
3−4
3(n∈N∗)
，当
n=1
时，
a1=S1=42
3−4
3=4
，
当
n ≥ 2
时，
an=Sn− Sn −1=
(
4n+1
3−4
3
)
−
(
4n
3−4
3
)
=4n+1−4n
3=3×4n
3=4n
，
因为
a1=4
也满足
an=4n
，综上，
an=4n(n∈N∗)
；
【变式 1-1】5.已知 为数列 的前 项和，且 ，则 ．
【答案】 ；【解析】由 ，得 ，当 时， ；
当 时， ，所以数列 的通项公式为 ．
◆类型 2 等比型
【 例 题 1-2 】（2022· 重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知数列
{
an
)
的 前
n
项 和
Sn
满足：
2Sn=3
(
an−1
)
,n ∈N+¿¿
.求
{
an
)
的通项公式；
【答案】
an=3n
【分析】利用退一相减法可知数列
{
an
)
为等比数列，进而可得数列
{
an
)
的通项公式；
【解析】由已知
2Sn=3
(
an−1
)
,n ∈N+¿¿
，
当
n=1
时，
2S1=3
(
a1−1
)
，解得
a1=S1=3
，
当
n ≥ 2
时，
2Sn−1=3
(
an −1−1
)
，则
2an=3
(
an−1
)
−3
(
an −1−1
)
，即
an=3an − 1
，
所以数列
{
an
)
是以
a1=3
为首项，
3
为公比的等比数列，所以
an=3×3n − 1=3n
；
【变式 1-2】1.已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝2an－1(n∈N*)，则 a5等于(　　)
A．－16 B．16
C．31 D．32
【解析】 当 n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2 时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－
1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且 a1＝1，q＝2，故 a5＝a1×q4＝24＝16.
【变式 1-2】2.（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列
{
an
)
的前
n
项和为
Sn=2
3an+1
3
(
n∈N*
)
，
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