《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》第五章 一元函数的导数及其应用章末测试卷（解析版）

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第5章 一元函数的导数及其应用章末测试卷
时间 120 分钟，满分 150
一、单选题
1．函数
f
(
x
)
=a xa+b
的导数为
f'
(
x
)
=6x2
．则
a+b
的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．
−1
【答案】A
【分析】根据
f'
(
x
)
列方程，求得
a , b
，进而求得
a+b
.
【详解】
，
所以
¿
，解得
a=2, b=1
，
所以
a+b=3
.
故选：A
2．若
0<x1<x2<1
，则（ ）
A．
ex2−ex1>ln x2−ln x1
B．
ex2−ex1<ln x2−ln x1
C．
x2ex1>x1ex2
D．
x2ex1<x1ex2
【答案】C
【分析】构造函数
f
(
x
)
=ex−ln x
，利用导数讨论单调性即可判断 A和B，再构造
g
(
x
)
=ex
x
，利用导数讨论
单调性即可判断 C和D.
【详解】令
f
(
x
)
=ex−ln x
，则
f'
(
x
)
=ex−1
x
，
令
h(x)=ex−1
x, h'(x)=ex+1
x2>0
恒成立，
即
f'
(
x
)
=ex−1
x
在定义域
(
0,+∞
)
单调递增，
且
f'
(
1
e
)
=e
1
e−e<0, f '
(
1
)
=e−1>0,
因此在区间
(
0,1
)
上必然存在唯一
x0
使得
f'
(
x0
)
=0
，
所以当
x∈
(
0, x0
)
时
f
(
x
)
单调递减，当
x∈
(
x0,1
)
时
f
(
x
)
单调递增，
故A，B均错误；
令
g
(
x
)
=ex
x
，
g'
(
x
)
=ex
(
x−1
)
x2
，
当
0<x<1
时，
g'
(
x
)
<0
，
∴
g
(
x
)
在区间
(
0,1
)
上为减函数，
∵
0<x1<x2
，∴
ex1
x1
>ex2
x2
，即
x2ex1>x1ex2
，
∴选项 C正确，D不正确.
故选:C.
3．已知函数
f(x)=sin 2 x−x f '(0)
，则该函数的图象在
x=π
2
处的切线方程为（ ）
A．
3x+y−π=0
B．
3x−y−π=0
C．
x+3y−π=0
D．
3x+y+π=0
【答案】A
【分析】先求出函数
f(x)=sin 2 x−x f '(0)
的导数，再赋值法求出
f'
(
0
)
，然后得到的函数解析式可得切点，
后将数据代入点斜式方程可得答案.
【详解】因为
f'(x)=2 cos 2 x−f'(0)
，所以
f'(0)=2 cos 0−f'(0)
，解得
f'(0)=1
，
所以
f(x)=sin 2 x−x , f
(
π
2
)
=−π
2, f '(x)=2 cos 2 x−1, f '
(
π
2
)
=−3
，
即切点
(
π
2,−π
2
)
, k=−3,
所以切线方程为：
y+π
2=−3
(
x−π
2
)
，即
3x+y−π=0
.
故选：A.
4．曲线
y=x3−2x
在
x=0
处的切线方程为（ ）
A．
y=−2x
B．
y=2x
C．
y=−1
2x
D．
y=1
2x
【答案】A
【分析】对
y=x3−2x
求导，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而求得切线方程.
【详解】因为
y=x3−2x
，所以
y'=3x2−2
，
所以曲线
y=x3−2x
在
x=0
处的切线的斜率为
k=y'
|
x=0=3×02−2=−2
，
又因为当
x=0
时，
y=x3−2x=0
，
所以曲线
y=x3−2x
在
x=0
处的切线方程为
y−0=−2
(
x−0
)
，即
y=−2x
.
故选：A.
5．已知
f(x)
是定义在 R上的可导函数，若
lim
△x → 0
f(2)−f(2+Δ x)
2Δ x =1
2
，则
f ' (2)
=（ ）
A．
−1
B．
−1
4
C．1 D．
1
4
【答案】A
【分析】根据极限与导数的定义计算．
【详解】
f'(2)=
lim
△x→ 0
f(2+Δ x )−f(2)
Δ x =−2
lim
△x→ 0
f(2)−f(2+Δ x)
2Δ x =−2×1
2=−1
故选：A．
6．函数
f
(
x
)
的导函数
f'
(
x
)
的图象如图所示，则（ ）
A．
x=1
2
为函数
f
(
x
)
的零点B．
x=2
为函数
f
(
x
)
的极大值点
C．函数
f
(
x
)
在
(
1
2,2
)
上单调递减 D．
f
(
−2
)
是函数
f
(
x
)
的最小值
【答案】C
【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由
f'
(
x
)
的图象可得，当
x←2
时，
f'(x)<0
，当
−2<x<1
2
时，
f'(x)>0
，
当
1
2<x<2
时，
f'(x)<0
，当
x>2
时，
f'(x)>0
所以
f
(
x
)
在
(
−2,1
2
)
和
(
2,+∞
)
上单调递增，在
(
−∞,−2
)
和
(
1
2,2
)
上单调递减，
所以
x=2
为
f
(
x
)
的极小值点，所以 B选项错误，C选项正确；
x=1
2
是
f'
(
x
)
的零点，但不一定是
f
(
x
)
的零点，所以 A错误；
f
(
−2
)
是函数
f
(
x
)
的极小值，但不一定是最小值，所以 D错误.
故选：C
7．已知函数
f
(
x
)
=x3−f'
(
1
)
2⋅ln x+3
，则曲线
y=f
(
x
)
在
(
e , f
(
e
)
)
处的切线斜率为（ ）．
A．
e2−1
2e
B．
3e2−1
2e
C．
e2−1
e
D．
3e2−1
e
【答案】D
【分析】先求导，令
x=1
，求出
f'
(
1
)
，再结合导数的几何意义即可求解.
【详解】依题意，
f'
(
x
)
=3x2−f'
(
1
)
2x
，令
x=1
，
故
f'
(
1
)
=3−f'
(
1
)
2
，解得
f'
(
1
)
=2
，故
f'
(
x
)
=3x2−1
x
，故
f'
(
e
)
=3e2−1
e
．
故选：D．
8．已函数
f
(
x
)
及其导函数
f'
(
x
)
定义域均为
R
，且
f
(
x
)
−f'
(
x
)
>0
，
f
(
0
)
=1
，则关于
x
的不等式
f
(
x
)
>ex
的解
集为（ ）
A．
¿
B．
¿
C．
¿
D．
¿
【答案】B
【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即
可.
【详解】由
f
(
x
)
>ex⇒f
(
x
)
ex>1
，设
g
(
x
)
=f
(
x
)
ex⇒g'
(
x
)
=f'
(
x
)
−f
(
x
)
ex<0⇒g
(
x
)
是实数集上的减函数，且
g
(
0
)
=1
，
所以由
f
(
x
)
ex>1⇒g
(
x
)
>1=g
(
0
)
⇒x<0
，
故选：B
二、多选题
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