《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》第四章 数列章末测试卷（解析版）

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第4 章 数列章末测试卷
考试时间：120 分钟
第I卷（选择题）
一、单选择(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等比数列
{
an
)
中，
a1+a2+a3=2
，
a4+a5+a6=4
，则
a10 +a11 +a12 =
（ ）
A．16 B．32 C．12 D．18
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.
【详解】由题，
a4+a5+a6
a1+a2+a3
=q3=4
2=2
则
a10 +a11 +a12 =( a1+a2+a3)q9=2×( q3)❑3=16
故选：A.
2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的通项公式为
（
n∈N*
），数列的前 2022 项和为（ ）
A．
2019
2020
B．
2022
2023
C．
2020
2021
D．
2021
2022
【答案】B
【分析】利用裂项相消法求和.
【详解】
an=1
n
(
n+1
)
=1
n−1
n+1
，则数列的前 2022 项和为
S2022 =1− 1
2+1
2−1
3+ +⋯1
2022 −1
2023 =1− 1
2023 =2022
2023
.故选：B
3．（2020·北京市第四中学顺义分校高二期中）等差数列
{
an
)
中，
a1
，
a2
，
a4
这三项构成等比数列，则公
比
q=
（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
1
2
【答案】C
【分析】由等比数列的性质列方程求得
d
与
a1
关系后可得．
【详解】设
\{ an\}
的公差为
d
，显然
a1≠0
，易知
d=0
时 ，
q=1
，
d≠0
时，由
a2
2=a1a4
得
(a1+d)❑2=a1(a1+3 d)
，
d=a1
，
q=a2
a1
=2a1
a1
=2
．所以
q=1
或2．故选：C．
4．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习 ）已知数列
{
an
)
满足
a1=1
，
an+1 =2 an+1
(
n≥1
)
，则
S5=
（ ）
A．57 B．31 C．32 D．33
【答案】A
【分析】因为
an+1 =2 an+1
，所以
an+1 +1=2( an+1)
，可知
\{ an+1\}
为等比数列，从而求出
an
，最后求和即
可.
【详解】因为
an+1 =2 an+1
(
n≥1
)
，所以
an+1 +1=2( an+1)
，
a1+1=2
，
所以数列
\{ an+1\}
是以 2为首项，以 2为公比的等比数列，所以
an+1=2× 2n−1= 2n
，所以
an= 2n−1
，
S5=(21+ 22+ 23+24+ 25)−5= 2(1−25)
1−2 −5=57
.故选：A
5．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知数列
{
an
)
的通项公式
an=9 n−90
，记
Sn
为数列
{
an
)
的前
n
项和，若使
Sn
取得最小值，则
n=
（ ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
【答案】D
【分析】由
{
an
)
的通项公式可知其时等差数列，等差数列判断其前
n
项和
Sn
最值得方法有两种：利用
{
an
)
得
通项公式判断或者利用前
n
项和判断；题中已知通项公式，利用通项公式判断即可.
【详解】显然
{
an
)
是一个等差数列，且
a1<0, d>0
，所以要使
Sn
取得最小值，只需将
{
an
)
的所有负数项或者
等于 0的项加完即可，显然
a10 =9×10−90=0
，所以
{
an
)
的前九项为负数，且
S9=S10
，所以当
n=
9或10 时
Sn
取得最小值.故选：D
6．（云南省名校 2023 届高三上学期第二次月考数学试题）一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右
两组从第一排到最后一排每排依次增加 1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加 2个座位，
各组座位具有相同的排数，第一排共有 16 个座位，最后一排共有 52 个座位，则该礼堂的座位总数共有（
）
A．442 个B．408 个C．340 个D．306 个
【答案】C
【分析】根据题意可知是等差数列，可得
a1=16
，公差
d=4
，
an=52
，求出
n=10
，然后用等差求和公式即
可
【详解】设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列
{
an
)
，共
n
排座位，
故得到首项
a1=16
，公差
d=4
，
an=52
，由
an=16+4
(
n−1
)
=52
可得
n=10
，
所以座位总数为
S10 =
(
16+52
)
×10
2=340
，故该礼堂的座位总数共有 340 个，故选：C.
7．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））在公比
q
为整数的等比数列
{
an
)
中，
Sn
是数列
{
an
)
的前
n
项
和，若
a1+a4=18
，
a2+a3=12
，则下列说法错误的是（ ）
A．
q=2
B．数列
{
Sn+2
)
是等比数列
C．数列
{
lg an
)
是公差为
2
等差数列 D．
S8=510
【答案】C
【分析】A选项：根据
a1+a4=18
，
a2+a3=12
，再结合等比数列的通项公式即可得到数列
{
an
)
的公比
q
；
B选项：利用求和公式得到
Sn
，再利用等比数列的定义证明
{
Sn+2
)
是等比数列即可；
C选项：利用等差数列的定义证明
{
lg an
)
为等差数列即可；
D选项：根据
Sn
求
S8
即可.
【详解】A选项：因为若
a1+a4=18
，
a2+a3=12
，所以
a1
(
1+ q3
)
=18
，
a1
(
q+q2
)
=12
，所以
1+ q3
q+q2=18
12 =3
2
，所以
q=2
，
q=1
2
（舍），故 A正确；
B选项：由 A知，
q=2
，所以
a1=2
，
an= 2n
，
Sn=2
(
1− 2n
)
1−2 = 2n+1 −2
，所以
Sn+1+2
Sn+2 =2
，且
S1+2=a1+2=4
，
所以
{
Sn+2
)
是以 4为首项，2为公比的等比数列，故 B正确；
C选项：由 B知，
lg an+1 −lg an=lg an+1
an
=lg2
，且
lg a1=lg2
，所以数列
{
lg an
)
是以
lg2
为首项，
lg2
为公差的
等差数列，故 C错误；
D选项：由 B知，
S8=2
(
1− 28
)
1−2 =510
，故 D正确；故选：C.
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知等差数列
{
an
)
满足
a2=2
，
a3+a6=1+ a8
，数列
{
bn
)
满足
bnan+1 an=an+1−an
，记
{
bn
)
的前
n
项和为
Sn
，若对于任意的
a∈
[
−2,2
)
，
n∈N*
，不等式
Sn<2t2+at −3
恒
成立，则实数
t
的取值范围为（ ）
A．
(
−∞,−2
)
∪
[
2,+∞
)
B．
(
−∞,−2
)
∪
[
1,+∞
)
C．
(
−∞,−1
)
∪
[
2,+∞
)
D．
[
−2,2
)
【答案】A
【分析】由等差数列通项公式可得
an
，进而由递推关系可得
bn=1
n−1
n+1
，借助裂项相消法得到
Sn
，又
Sn<1
，问题等价于对任意的
a∈
[
−2,2
)
,n∈N*
，
2t2+at −4≥0
恒成立.
【详解】由等差数列的性质知
a3+a6=a8+a1=a8+1
，则
a1=1
，
又
a2=2
，则等差数列
{
an
)
的公差
d=a2−a1=1
，
∴an=1+
(
n−1
)
=n
.由
bnan+1 an=an+1−an
，得
bn=1
an
−1
an+1
=1
n−1
n+1
，
∴Sn=
(
1− 1
2
)
+
(
1
2−1
3
)
+
(
1
3−1
4
)
+ +⋯
(
1
n−1 −1
n
)
+
(
1
n−1
n+1
)
=1− 1
n+1
则不等式
Sn<2t2+at −3
恒成立等价于
1− 1
n+1 <2 t2+at −3
恒成立，
而
1− 1
n+1 <1
，
∴
问题等价于对任意的
a∈
[
−2,2
)
,n∈N*
，
2t2+at −4≥0
恒成立．
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