《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.3.2函数的极值与最大（小）值（解析版)

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5.3.2 函数的极值与最大（小）值
题型 1 求函数的极值...................................................................................................................................................3
◆类型 1 极值点辨析............................................................................................................................................3
◆类型 2 求简单函数的极值................................................................................................................................4
题型 2 由函数图像分析函数极值...............................................................................................................................9
题型 3 利用极值求参数.............................................................................................................................................15
◆类型 1已知函数极值求参数..........................................................................................................................15
◆类型 2利用极值求参数取值范围..................................................................................................................17
题型 4 求简单函数的最值.........................................................................................................................................21
题型 5 求含参函数的最值问题.................................................................................................................................24
题型 6 由函数的最值求参数的取值(范围).............................................................................................................31
◆类型 1 取值问题..............................................................................................................................................31
◆类型 2 取值范围问题......................................................................................................................................33
知识点一.函数极值的定义
1.极小值点与极小值
若函数 y=f（x）在点 x=a 的函数值 f（a）比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，f ′（a）=0，而且
在点 x=a 附近的左侧 f′（x）<0，右侧 f′（x）>0，就把点 a 叫做函数 y=f（x）的极小值点，f（a）叫
做函数 y=f（x）的极小值.
2. 极大值点与极大值
若函数 y=f（x）在点 x=b 的函数值 f（b）比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，f ′（b）=0，而且
在点 x=b 附近的左侧 f′（x）>0，右侧 f′（x）<0，就把点 b 叫做函数 y=f（x）的极大值点，f（b）叫
做函数 y=f（x）的极大值.
3. 极小值点、极大值点统称为极值点；极小值和极大值统称为极值.
注意：导数为 0的点不一定是极值。
如f（x）=x³，f （0）=0，但 x=0 不是 f（x）=x³ 的极值点．所以当 f ′（x0）=0 时，要判断 x=x0是
否为 f（x）的极值点，还要看 f′（x）在 x0两侧的符号是否相反.
知识点二.函数极值的求法与步骤
（1）求函数 y=f（x）的极值的方法
解方程 f ′（x）=0，当 f ′（xo）=0 时，
①如果在 xo附近的左侧函数单调递增，即 f′（x）>0，在 xo的右侧函数单调递减，即 f ′（x）<0，那么
f（xo）是极大值；
②如果在 x0附近的左侧函数单调递减，即 f′（x）<0，在 xo的右侧函数单调递增，即 f ′（x）>0，那么
f（xo）是极小值.
（2）求可导函数 f（x）的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数 f ′（x）；
②求方程 f ′（ x）=0 的根；
③列表
④利用 f′（x）与 f(x）随 x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
知识点三.函数最值的定义
1.对于函数 f（x），给定区间 I，若对任意 x∈I，存在 xo∈I，使得 f（x)≥f(xo)，则称 f(xo）为函数 f（x）
在区间 I上的最小值；若对任意 x∈I，存在 xo∈I，使得 f(x）≤f（xo），则称 f（xo）为函数 f（x）在区间
I上的最大值.
2.一般地，如果在区间[a，b]上函数 y=f(x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
知识点四.求函数的最大值与最小值的步骤
函数 f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，求 f(x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
如下∶
（1）求函数 y=f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将函数 y=f(x）的各极值与端点处的函数值 f（a），f(b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
注意：函数极值是一个局部概念，只是描述在某个点附近的函数值的特征，并不意味着在整个定义域内取
得最值；函数的极值并不唯一.
题型 1 求函数的极值
【方法总结】用导数研究函数的极值的应对策略
在判断 f′（x）的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符
号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注
意" 极值" 和" 极值点" 的区别.
◆类型 1 极值点辨析
【例题 1-1】f′(x0)＝0是函数 f(x)在x0处取得极值的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当 f′(x)＝0时，必须 f′(x)在x0的左右两侧异号才能在 x0处取得极值；
反之，当函数 f(x)在x0处取得极值时，也可能 f(x)在x0处不存在导数，所以也不一定有 f′(x0)＝0.
所以 f′(x0)＝0是函数 f(x)在x0处取得极值的既不充分也不必要条件，故选 D.
【变式 1-1】1.已知函数 f(x)在点 x0处连续，下列命题中正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极小值
C．如果在点 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值
D．如果在点 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极大值
【答案】C
【解析】由极大值的定义可知 C正确．
【变式 1-1】2．（2022·北京铁路二中高三阶段练习）设函数
f
(
x
)
的定义域为
R
，
x0
(
x0≠0
)
是
f
(
x
)
的极大
值点，以下四个结论中正确的命题序号是______.
①
∀x∈R
，
； ②
− x0
是
f
(
− x
)
的极大值点；
③
− x0
是
− f
(
x
)
的极小值点； ④
− x0
是
− f
(
− x
)
的极小值点
【答案】②④
【分析】根据极值点的定义、极值的性质和图象变换逐个判断即可.
【详解】对于①：
x0
是
f
(
x
)
的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误；
对于②：因为
y=f
(
− x
)
与
y=f
(
x
)
的图象关于
y
轴对称，
且
x0
(
x0≠0
)
是
f
(
x
)
的极大值点，
所以
− x0
应是
f
(
− x
)
的极大值点，即②正确；
对于③：因为
y=− f
(
x
)
与
y=f
(
x
)
的图象关于
x
轴对称，
且
x0
(
x0≠0
)
是
f
(
x
)
的极大值点，
所以
x0
应是
− f
(
x
)
的极小值点，
且无法判定
− x0
是
− f
(
x
)
的极小值点，即③错误；
对于④：因为
y=− f
(
− x
)
与
y=f
(
x
)
的图象关于
(0,0)
对称，
且
x0
(
x0≠0
)
是
f
(
x
)
的极大值点，
所以
− x0
应是
− f
(
− x
)
的极小值点，即④正确；
故答案为：②④.
◆类型 2 求简单函数的极值
【例题 1-2】求下列函数的极值点和极值．
（1）f(x)＝x3－x2－3x＋3； （2）f(x)＝＋3ln x.
【解析】（1）f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得 x＝3或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情
况如表所示：
x(－∞，－1) －1 (－1,3) 3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) －6
所以 x＝－1是函数的极大值点，且 f(x)极大值＝，x＝3是函数的极小值点，且 f(x)极小值＝－6.
（2）函数 f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令 f′(x)＝0，得 x＝1.当x变化时，f′
(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x(0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)3
所以 x＝1是函数 f(x)的极小值点，且 f(x)极小值＝3，无极大值点及无极大值.
【变式 1-2】1.求函数 f(x)＝x2e－x的极值．
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