《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.3.1函数的单调性（原卷版)

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5.3.1 函数的单调性
题型 1 求不含参函数的单调区间.............................................................................................2
题型 2 含参函数单调区间......................................................................................................5
◆类型 1 导数为 1个根....................................................................................................5
◆类型 2 导数为 2个根....................................................................................................8
◆类型 3 不能因式分解..................................................................................................13
题型 3 已知单调区间求参数.................................................................................................17
◆类型 1 已知单增单减求取值范围..................................................................................17
◆类型 2 存在单增单减区间问题.....................................................................................21
◆类型 3 已知单调区间问题............................................................................................25
◆类型 4 不单调问题.....................................................................................................28
题型 4 单调性与图象...........................................................................................................28
题型 5 利用导数图象解不等式..............................................................................................34
知识点一.函数的单调性与导数的关系
1.一般地，在区间（a，b）上，函数 f（x）的单调性与导数 f′（x）的正负有如下关系.
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)=0 常函数
2. 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性∶
第1步∶确定函数的定义域；
第2步∶求出导数 f(x)的零点；
第3步∶用 f(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f(x)在各区间上的正负，由此得出函
数y=f(x)在定义域内的单调性.
知识点二.函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示.
图像
导数 导数为正，且绝对
值越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对
值越来越大
导数为负，且绝对
值越来越小
函数值 函数值变化越来越 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越 函数值变化越来越
快 快 慢
图像特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓
题型 1 求不含参函数的单调区间
【例题 1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数
f(x)=(x − 3)ex
的单调递减区间是（oooo）
A．
¿
,
2¿
B．
¿
,
3¿
C．
¿
,
D．
¿
,
+∞¿
【 变 式 1-1 】1． （ 2022· 云 南 ·昆明一中模拟预测（理））设 a为实数，函数
f(x)=x3+(a −1)x2−(a+2)x
，且
f′(x)
是偶函数，则
f(x)
的单调递减区间为（oooo）
A．
(0,2)
B．
(−❑
√
3,❑
√
3)
C．
(−1,1)
D．
(−3,3)
【变式 1-1】2．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为_
_____.
【变式 1-1】3．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）己知函数
f
(
x
)
=x2+5x+2 ln x
，则函数
f
(
x
)
的单调递增区间是_____________．
【变式 1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）设函数
f(x)=e
2x+ln x(x>0)
，求
f(x)
的单调区间．
【变式 1-1】5．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））已知函数
f(x)=x3− x2− x+2
.
(1)求曲线
f(x)
在点
(
2, f
(
2
)
)
处的切线方程；
(2)求
f(x)
的单调区间.
题型 2 含参函数单调区间
◆类型 1 导数为 1个根
【例题 2-1】（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数
f(x)=aln x+bx (a , b ∈R)
．
若
a=1
，求函数
y=f(x)
的单调区间；
【变式 2-1】1．（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=ax − 3 ln x
．
讨论函数
f
(
x
)
的单调性；
【变式 2-1】2.（2007·山东·高考真题（理））设函数
f
(
x
)
=ax −
(
a+1
)
ln
(
x+1
)
，其中
a ≥ −1
，求
f
(
x
)
的
单调区间．
【变式 2-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数
f
(
x
)
=ex− ax −1
.
讨论函数
f(x)
的单调性；
【 变 式 2-1 】4． （ 2022· 江 苏 苏 州 ·高 三 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数
f
(
x
)
=eax − ax
(
a∈R , a ≠ 0
)
, g
(
x
)
=bln x − x
(
b∈R
)
.讨论函数
f
(
x
)
的单调性；
【 变 式 2-1 】5． （ 2022· 河南商丘·高三阶段练习（文））已知函数
f
(
x
)
=xex− a x2
(
a∈R
)
，
g
(
x
)
=f′
(
x
)
+
(
1− x
)
ex
，其中
f′
(
x
)
是
f
(
x
)
的导函数.讨论函数
g
(
x
)
的单调性；
◆类型 2 导数为 2个根
【例题 2-2】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数
f
(
x
)
=a x2+
(
2a −1
)
x− ln x
(
a∈R
)
.
讨论
f
(
x
)
的单调性；
【变式 2-2】1．（2022·山东淄博·高三期中）已知三次函数
f
(
x
)
=1
3a x3+1
2
(
2a −1
)
x2−2x − 1
2
.
(1)当
a=3
时，求曲线
y=f
(
x
)
在点
(
1, f
(
1
)
)
处的切线方程，
(2)讨论
y=f
(
x
)
的单调性.
【变式 2-2】2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数
f(x)= x2− ax +1
ex
o
¿
).
讨论
f(x)
的单调性；
【变式 2-2】3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数
f(x)=x3−a+3
2x2+ax+b
讨论
f
(
x
)
的单调性；
【变式 2-2】4．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数
f
(
x
)
=x −
(
a+2
)
ln x − a+1
x
．
讨论函数
f
(
x
)
的单调性；
【变式 2-2】5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数
f
(
x
)
=x2eax −1
(
a≠ 0
)
，
g
(
x
)
=ln x+bx+1
.
求函数
f
(
x
)
的单调区间；
◆类型 3 不能因式分解
【例题 2-3】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数
f
(
x
)
=m x3− mx − x ln x
(
m∈R
)
.
若
f
(
x
)
的导函数为
g
(
x
)
，试讨论
g
(
x
)
的单调性；
【 变 式 2-3 】1． （ 2022· 广 西 ·桂 林 市 第 五 中 学 高 三 阶 段 练 习 （ 文 ） ） 已 知 函 数
f
(
x
)
=ln x− 1
2a x2+x , a ∈R
.
(1)当
a=2
时，求函数
y=f
(
x
)
在点
(
1, f
(
1
)
)
处的切线方程；
(2)求函数
f
(
x
)
的单调区间.
【变式 2-3】2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=1
2x2−2x − a ln x
．
讨论
f
(
x
)
的单调性；
【变式 2-3】3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数
f
(
x
)
=ex
(
a x2+x+a
)
(
a ≥ 0
)
.
求函数
f
(
x
)
的单调区间；
【变式 2-3】4．（2022·四川省内江市第六 中学高三阶段 练习（理）） 函数
f
(
x
)
=aln x− x2+x
，
g
(
x
)
=
(
x− 2
)
⋅ex− x2+m
．当
a<0
时，讨论函数
y=f
(
x
)
的单调性；
题型 3 已知单调区间求参数
◆类型 1 已知单增单减求取值范围
【例题 3-1】若函数
f
(
x
)
=x2−ax +ln x
在区间
(
1, e
)
上单调递增，则实数 a的取值范围是（oooo）
A．
[
3,+∞
)
B．
(
− ∞ , 3
)
C．
[
3,e2+1
)
D．
(
− ∞ ,e2+1
)
【变式 3-1】1．若函数
f
(
x
)
=x3−3kx+1
在区间
(
1,+∞
)
上单调递增，则实数 k的取值范围是（oooo）
《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.3.1函数的单调性（原卷版).docx

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