《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.2导数的运算 （解析版)

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5.2 导数的运算
题型 1 初等函数求导..................................................................................................................................................2
题型 2 复合函数求导..................................................................................................................................................5
题型 3 求导数的值......................................................................................................................................................8
题型 4 求切线方程....................................................................................................................................................12
◆类型 1 在一点的切线方程..............................................................................................................................12
◆类型 2 过一点的切线方程..............................................................................................................................17
题型 5 公切线问题....................................................................................................................................................22
题型 6 导数的运算技巧............................................................................................................................................26
知识点一.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
知识点二.导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
知识点三.复合函数的导数
复合函数 y＝f（g（x））的导数和函数 y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
【常用结论】
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
（2）函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小
|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
函数 导函数 函数 导函数
y＝c(c 是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x
y＝xα(α 为实数) y′＝αx α
－
1
y＝cos x y′＝－ sin _x
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axlna
特别地(ex)′＝ex
y＝
logax(a>0，a≠1)
y′＝
特别地(ln x)′＝
题型 1 初等函数求导
【方法总结】
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算
失误.
（3）要特别注意“
1
x
与Inx”，“ax’与logax”，“sinx 与cosx”的导数区别.
【例题 1】（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.
(1)
y=x12
；
(2)
y=1
x4
；
(3)
y=3x
；
(4)
y=ln x
；
(5)
y=cos x
.
【答案】(1)
(2)
y′=−4
x5
(3)
y′=3xln3
(4)
y′=1
x
(5)
y′=−sin x
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
y′=
(
x12
)
′=12 x11
（2）
y′=
(
1
x4
)
′
=
(
x−4
)
′=−4x−5=−4
x5
（3）
y′=
(
3x
)
′=3xln3
（4）
y′=
(
ln x
)
′=1
x
（5）
y′=
(
cos x
)
′=−sin x
【变式 1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2)
y=1
x4
；
(3)
y＝5
√
x3
；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
【答案】(1)
y'=12 x11
(2)
y'=−4
x5
(3)
y'=3
5x−2
5
(4)
y'=3xln3
(5)
y'=1
xln5
【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)
y'=(x12 )'=12 x11
(2)
y'=( 1
x4)
'
=(x−4)'=−4x−5=−4
x5
；
(3)
y'=(5
√
x3)'=
(
x
3
5
)
'
=3
5x−2
5
；
(4)
y'=(3x)'=3xln 3
；
(5)
y'=(log5x)'=1
xl n5
【变式 1-1】2.求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4)
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