《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.1.2导数的概念及其几何意义 (原卷版)

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5.1.2 导数的概念及其几何意义

题型 1 导数的几何意义-切线问题............................................................................................................................2

◆类型 1 在点“P”处的切线..............................................................................................................................2

◆类型 2 过点“P”处的切线..............................................................................................................................4

题型 2 求切点坐标......................................................................................................................................................5

题型 3 利用图象理解导数的几何意义......................................................................................................................7

题型 4 函数的单调性与导数的关系........................................................................................................................10

知识点一.割线的定义：

函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过 A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线

的斜率，这条直线称为曲线 y＝f(x)在点 A处的一条割线．

知识点二.切线的定义：

切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的

直线

称为点 P处的切线．

知识点三.导数的几何意义

函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，

曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f ′( x 0) ．

即k=lim

∆ x →m

(

x0+∆ x

)

−f(x0)

∆ x =f '(x0)

相应地，

切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0)．

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．

与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

知识点四.割线斜率与切线斜率

设函数 y＝f(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此

割线的斜率是＝

(

x0+∆ x

)

−f(x0)

∆ x

当点 B沿曲线趋近于点 A时，割线 AB 绕点 A转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做此曲线在点 A

处的切线．于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝lim

(

x0+∆ x

)

−f(x0)

∆ x

知识点五.导函数的定义

从求函数 f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当 x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当 x变化

时，y＝f′(x)就是 x的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作 f ′( x ) 或y ′ ，即

f′(x)＝y′＝lim

(

x0+∆ x

)

−f(x0)

∆ x

注意：

区别联系

f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在 x＝x0处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)在

x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点

处的导数，一般先求导函数，再计算导

函数在这一点的函数值

f′(x)

f′(x)是函数 f(x)在某区间 I上

每一点都存在导数而定义的一

个新函数，是函数

题型 1 导数的几何意义-切线问题

◆类型 1 在点“P”处的切线

【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤

【例题 1-1】已知曲线 y＝3x2－x，求曲线上的点 A(1,2)处的切线斜率及切线方程．

【变式 1-1】1.求曲线 f(x)＝x2＋1在点 A(1,2)处的切线方程．

【变式 1-1】2.求过点 P(－1,2)且与曲线 y＝3x2－4x＋2在点 M(1,1)处的切线平行的直线．

【变式 1-1】3.已知曲线 C：y＝f(x)＝x3＋x.

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