《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.1.2导数的概念及其几何意义 (解析版)

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5.1.2 导数的概念及其几何意义

题型 1 导数的几何意义-切线问题............................................................................................................................2

◆类型 1 在点“P”处的切线..............................................................................................................................2

◆类型 2 过点“P”处的切线..............................................................................................................................4

题型 2 求切点坐标......................................................................................................................................................5

题型 3 利用图象理解导数的几何意义......................................................................................................................7

题型 4 函数的单调性与导数的关系........................................................................................................................10

知识点一.割线的定义：

函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过 A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线

的斜率，这条直线称为曲线 y＝f(x)在点 A处的一条割线．

知识点二.切线的定义：

切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的

直线

称为点 P处的切线．

知识点三.导数的几何意义

函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，

曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f ′( x 0) ．

即k=lim

∆ x →m

(

x0+∆ x

)

− f (x0)

∆ x =f ' (x0)

相应地，

切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0)．

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．

与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

知识点四.割线斜率与切线斜率

设函数 y＝f(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此

割线的斜率是＝

(

x0+∆ x

)

− f (x0)

∆ x

当点 B沿曲线趋近于点 A时，割线 AB 绕点 A转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做此曲线在点 A

处的切线．于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝lim

(

x0+∆ x

)

− f (x0)

∆ x

知识点五.导函数的定义

从求函数 f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当 x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当 x变化

时，y＝f′(x)就是 x的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作 f ′( x ) 或y ′ ，即

f′(x)＝y′＝lim

(

x0+∆ x

)

− f (x0)

∆ x

注意：

区别联系

f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在 x＝x0处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)在

x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点

处的导数，一般先求导函数，再计算导

函数在这一点的函数值

f′(x)

f′(x)是函数 f(x)在某区间 I上

每一点都存在导数而定义的一

个新函数，是函数

题型 1 导数的几何意义-切线问题

◆类型 1 在点“P”处的切线

【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤

【例题 1-1】已知曲线 y＝3x2－x，求曲线上的点 A(1,2)处的切线斜率及切线方程．

【解析】因为＝

3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1

△x

＝5＋3Δx，当 Δx趋于 0时，5＋3Δx趋于 5，所以曲

线y＝3x2－x在点 A(1,2)处的切线斜率是 5.所以切线方程为 y－2＝5(x－1)，即 5x－y－3＝0.

【变式 1-1】1.求曲线 f(x)＝x2＋1在点 A(1,2)处的切线方程．

【解析】在曲线 f(x)＝x2＋1上的点 A(1,2)的附近取一点 B，设 B点的横坐标为 1＋Δx，

则点 B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量 Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，

所以切线 AB 的斜率 kAB＝＝Δx＋2，∴lim ＝lim (Δx＋2)＝2，

这表明曲线 f(x)＝x2＋1在点 A(1,2)处的切线斜率 k＝2．∴所求切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝

【变式 1-1】2.求过点 P(－1,2)且与曲线 y＝3x2－4x＋2在点 M(1,1)处的切线平行的直线．

【解析】∵曲线 y＝3x2－4x＋2在点 M(1,1)处的切线斜率

k＝y′＝lim

3(1+△x)2−4(1+△x)+2−3×12+4−2

△x

＝lim(3Δx＋2)＝2，

∴过点 P(－1,2)的直线的斜率为 2，由直线的点斜式，得 y－2＝2(x＋1)，即 2x－y＋4＝0，

∴所求直线的方程为 2x－y＋4＝0.

【变式 1-1】3.已知曲线 C：y＝f(x)＝x3＋x.

(1)求曲线 C在点(1,2)处切线的方程；

(2)设曲线 C上任意一点处切线的倾斜角为 α，求 α的取值范围．

【解析】因为＝

(x+△x)3+(x+△x)− x3+x

△x

＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，所以 f′(x)＝lim ＝lim[3x2＋

3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.

(1)曲线 C在点(1,2)处切线的斜率为 k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线 C在点(1,2)处的切线方程为

y－2＝4(x－1)，即 4x－y－2＝0.

(2)曲线 C在任意一点处切线的斜率为 k＝f′(x)＝tan α，所以 tan α＝3x2＋1≥1.又α∈[0，π)，所以

α∈.

【变式 1-1】4.曲线 y＝x2＋1在点 P(2,5)处的切线与 y轴交点的纵坐标是________．

【答案】　－3

【解析】　∵y′|x＝2＝lim ＝lim

(2+△x)2+1−22−1

△x

＝lim (4＋Δx)＝4，∴k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线 y＝x2＋1在点 P(2,5)处的切线方程为 y－5＝4(x－2)，即 y＝4x－3.∴切线与 y轴交点的纵坐标是

－3.

◆类型 2 过点“P”处的切线

【方法总结】过点“P”处的切线：

(1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．

(2)过曲线外的点 P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤

①设切点为 Q(x0，y0)；

②求出函数 y＝f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)；

** Expression is faulty **利用 Q在曲线上和 f′(x0)＝kPQ，解出 x0，y0及f′(x0)；

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