《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.1.1变化率问题 (原卷版)

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5.1.1 变化率问题
题型 1 平均变化率......................................................................................................................................................2
题型 2 平均速度..........................................................................................................................................................7
题型 3 瞬时变化率......................................................................................................................................................9
题型 4 瞬时速度........................................................................................................................................................14
题型 5 函数在某点的导数........................................................................................................................................18
题型 6 导数概念中的极限计算................................................................................................................................23
知识点一.函数 y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：
∆ y
∆ x =f
(
x2
)
−f(x1)
x2−x1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，
函数 y＝f(x)的平均变化率
∆ y
∆ x =f
(
x2
)
−f(x1)
x2−x1
=f
(
x1+∆ x
)
−f(x1)
∆ x
为割线 AB 的斜率，如图所示．
【注意】Δx是变量 x2在x1处的改变量，且 x2是x1附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx可以为正，
也可以为负.
知识点二.函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
lim
∆ x→ 0
∆ y
∆ x =lim
∆ x →0
¿f
(
x0+∆ x
)
−f(x0)
∆ x ¿
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】“Δx无限趋近于 0”的含义
Δx趋于 0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终 Δx≠0.
知识点三.瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2) 一 般 地 ， 设 物 体 的 运 动 规 律 是
s
＝
s
(
t
) ， 则 物 体 在
t
0到
t
0＋ Δ
t
这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 为 ＝
s
(
t0+∆t
)
−s(t0)
∆ t
.如果 Δ
t
无限趋近于 0 时，无限趋近于某个常数
v
，我们就说当 Δ
t
无限趋近于 0 时，的极
限是
v
，这时
v
就是物体在时刻
t
＝
t
0时的瞬时速度，即瞬时速度
v
＝lim ＝lim
s
(
t0+∆t
)
−s(t0)
∆ t
.
知识点四.函数在某点处的导数
如果当
Δx→0
时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称
y
＝
f(x)
在
x
＝
x0
处可导，并把
这个确定的值叫做
y
＝
f(x)
在
x
＝
x0
处的导数
(
也称为瞬时变化率
)
，记作
f′(x0)
或
，即
f′(x0)
＝
lim
＝
lim
f
(
x0+∆ x
)
−f(x0)
∆ x
.
【注意】
“函数 y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对 x0而言的，与给定的函数及 x0的位置有关，而与
Δx无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函
数本身，而与 x，Δx无关．
题型 1 平均变化率
【方法总结】求平均变化率的步骤：
（1）先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)；
（2）再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0；
（3）求平均变化率
；
【注意】Δx，Δy的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy可为零，若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0
【例题 1-1】设函数 y＝f(x)，当自变量 x由x0改变为 x0＋Δx时，函数值的改变量 Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【变式 1-1】1．（2021·全国·高二课时练习）在平均变化率的定义中，自变量 x在x0处的增量△x
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零
【变式 1-1】2．（2021·全国·高二课时练习）某质点的运动规律为
s=t2+3
，则在时间
(3,3+Δt)
内，质
点的位移增量等于（ ）
A．
6Δt +(Δt )2
B．
6+Δt+9
Δt
C．
3Δt +(Δt)2
D．
9+Δt
【例题 1-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=x2+2
，则该函数在区间
[
1,3
]
上
的平均变化率为（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
【变式 1-2】1．（2022·辽宁·高二阶段练习）函数
f
(
x
)
=−x3+1
在区间
[
−1,2
]
上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．
−2
D．
−3
【变式 1-2】2.已知函数 f(x)＝x＋，分别计算 f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区
间上变化的快慢．
【变式 1-2】3.函数 y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为
k2，则( )
A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定
【例题 1-3】（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在曲线
y=x2+1
的图象上取一点
(1,2)
及邻近一
点
(1+Δx , 2+Δy)
，则
Δ y
Δ x
为（ ）
A．
Δ x +1
Δ x +2
B．
Δ x−1
Δ x −2
C．
2+Δ x
D．
2+Δ x−1
Δ x
【变式 1-3】1.已知函数 f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(
)
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
【变式 1-3】2.若函数 f(x)＝－x2＋10 的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【变式 1-3】3.已知曲线 y＝x2和这条曲线上的一点 P，Q是曲线上点 P附近的一点，则点 Q的坐标为(
)
A.
(
1+∆ x , 1
4(∆ x)2
)
B.
(
∆ x , 1
4(∆ x )2
)
C.
(
1+∆ x , 1
4(∆ x+1)2
)
D.
(
∆ x , 1
4(∆ x +1)2
)
【例题 1-4】（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若函数
f(x)=x2−t
，当
1≤ x ≤m
时，平
均变化率为 2，则 m等于（ ）
A．
❑
√
5
B．2 C．3 D．1
【变式 1-4】（2022·江西赣州·高二期中（文））若函数
f
(
x
)
=x2−m2
在区间
[
2,t
]
上的平均变化率为 5，
则t等于（ ）
A．
❑
√
5
B．2 C．3 D．1
【例题 1-5】如图是函数 y＝f(x)的图象，回答下列问题．
(1)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；
(2)函数 f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．
【变式 1-5】如图是函数 y＝f(x)的图象，则
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