《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》5.1.1变化率问题 (解析版)

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5.1.1 变化率问题
题型 1 平均变化率......................................................................................................................................................2
题型 2 平均速度..........................................................................................................................................................7
题型 3 瞬时变化率......................................................................................................................................................9
题型 4 瞬时速度........................................................................................................................................................14
题型 5 函数在某点的导数........................................................................................................................................18
题型 6 导数概念中的极限计算................................................................................................................................23
知识点一.函数 y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：
∆ y
∆ x =f
(
x2
)
−f(x1)
x2−x1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，
函数 y＝f(x)的平均变化率
∆ y
∆ x =f
(
x2
)
−f(x1)
x2−x1
=f
(
x1+∆ x
)
−f(x1)
∆ x
为割线 AB 的斜率，如图所示．
【注意】Δx是变量 x2在x1处的改变量，且 x2是x1附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx可以为正，
也可以为负.
知识点二.函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
lim
∆ x→ 0
∆ y
∆ x =lim
∆ x →0
¿f
(
x0+∆ x
)
−f(x0)
∆ x ¿
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】“Δx无限趋近于 0”的含义
Δx趋于 0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终 Δx≠0.
知识点三.瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2) 一 般 地 ， 设 物 体 的 运 动 规 律 是
s
＝
s
(
t
) ， 则 物 体 在
t
0到
t
0＋ Δ
t
这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 为 ＝
s
(
t0+∆t
)
−s(t0)
∆ t
.如果 Δ
t
无限趋近于 0 时，无限趋近于某个常数
v
，我们就说当 Δ
t
无限趋近于 0 时，的极
限是
v
，这时
v
就是物体在时刻
t
＝
t
0时的瞬时速度，即瞬时速度
v
＝lim ＝lim
s
(
t0+∆t
)
−s(t0)
∆ t
.
知识点四.函数在某点处的导数
如果当
Δx→0
时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称
y
＝
f(x)
在
x
＝
x0
处可导，并把
这个确定的值叫做
y
＝
f(x)
在
x
＝
x0
处的导数
(
也称为瞬时变化率
)
，记作
f′(x0)
或
，即
f′(x0)
＝
lim
＝
lim
f
(
x0+∆ x
)
−f(x0)
∆ x
.
【注意】
“函数 y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对 x0而言的，与给定的函数及 x0的位置有关，而与
Δx无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函
数本身，而与 x，Δx无关．
题型 1 平均变化率
【方法总结】求平均变化率的步骤：
（1）先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)；
（2）再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0；
（3）求平均变化率
；
【注意】Δx，Δy的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy可为零，若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0
【例题 1-1】设函数 y＝f(x)，当自变量 x由x0改变为 x0＋Δx时，函数值的改变量 Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】函数值的改变量 Δy是表示函数 y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与在 x＝x0的函数值之差，因此
有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
【变式 1-1】1．（2021·全国·高二课时练习）在平均变化率的定义中，自变量 x在x0处的增量△x
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零
【答案】D
【详解】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念．
解:函数在某点处横坐标的增量可正可负，不确定，但不可为 0，故选 D．
【变式 1-1】2．（2021·全国·高二课时练习）某质点的运动规律为
s=t2+3
，则在时间
(3,3+Δt)
内，质
点的位移增量等于（ ）
A．
6Δt +(Δt )2
B．
6+Δt+9
Δt
C．
3Δt +(Δt)2
D．
9+Δt
【答案】A
【解析】根据平均变化率的定义计算．
【详解】位移增量
¿s(3+Δt )−s(3)=(3+Δ t)2+3−
(
32+3
)
=6Δt+( Δt)2
.故选：A.
【例题 1-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=x2+2
，则该函数在区间
[
1,3
]
上
的平均变化率为（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数
f
(
x
)
=x2+2
，所以该函数在区间
[
1,3
]
上的平均变化率为
f(3)−f(1)
3−1=32+2−(12+2)
2=4
，故选：A
【变式 1-2】1．（2022·辽宁·高二阶段练习）函数
f
(
x
)
=−x3+1
在区间
[
−1,2
]
上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．
−2
D．
−3
【答案】D
【分析】根据平均变化率的定义计算即可
【详解】由题，函数
f
(
x
)
=−x3+1
在区间
[
−1,2
]
上的平均变化率为
f
(
2
)
−f
(
−1
)
2−
(
−1
)
=
(
−23+1
)
−
[
−
(
−1
)
3+1
]
3=−3
故选：D
【变式 1-2】2.已知函数 f(x)＝x＋，分别计算 f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区
间上变化的快慢．
【解析】自变量 x从1变化到 2时，函数 f(x)的平均变化率为＝
f(2)−f(1)
2−1
＝.
自变量 x从3变化到 5时，函数 f(x)的平均变化率为＝
f(5)−f(3)
5−3
＝.由于<，
所以函数 f(x)＝x＋在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢.
【变式 1-2】3.函数 y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为
k2，则( )
A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定
【答案】A
【解析】∵k1＝
(
x0+∆ x
)
2−x0
2
∆ x
＝2x0＋Δx,k2＝
x0
2−
(
x0−∆ x
)
2
∆ x
＝2x0－Δx，又由题意知 Δx>0 ， 故
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